変曲点(凹凸の変わり目)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 変曲点は「凹凸が変わる点」。凹凸は第 $2$ 次導関数 $y^{\prime \prime }$ の符号で決まる。

だから $y=x{e}^{-x}$ を $2$ 回微分して $y^{\prime \prime }$ を作る。

$y^{\prime \prime }=0$ となる $x$ を求める。

その前後で $y^{\prime \prime }$ の符号が実際に変わることを確かめる、という手順で進む。

① $y^{\prime }$、$y^{\prime \prime }$ を求める。 積の微分で

$$y^{\prime }=e^{-x}+x(-e^{-x})=(1-x)e^{-x}$$ $$y^{\prime \prime }=-e^{-x}+(1-x)(-e^{-x})=(-1-(1-x))e^{-x}=(x-2)e^{-x}$$

② $y^{\prime \prime }=0$ を解く。 $e^{-x}>0$ より $x-2=0$、$x=2$。

③ 符号を確認する。 $x-2$ の符号は、$x<2$ で負($y^{\prime \prime }<0$、上に凸)、$x>2$ で正($y^{\prime \prime }>0$、下に凸)。$x=2$ で凹凸が変わるので変曲点。$y=2e^{-2}=\frac{2}{e^2}$。

よって変曲点は $\left(2,\frac{2}{e^2}\right)$。

まとめ:変曲点は「$y^{\prime \prime }=0$ + 符号変化」。$y^{\prime \prime }=(x-2)e^{-x}$ で、$x=2$ の前後で符号が負→正と変わる(上に凸→下に凸)。$y^{\prime \prime }=0$ だけでは不十分で、符号が実際に変わることの確認が要。

発展 — 一歩先へ。 $y=x{e}^{-x}$ は、$x=1$ で極大(山のてっぺん)、$x=2$ で変曲点。ピークの少し先に凹凸の変わり目がくる。

じつは $x{e}^{-x}$ の第 $n$ 次導関数は $(-1{)}^n(x-n)e^{-x}$ と書ける。$n=1$ なら零点 $x=1$(極大)、$n=2$ なら零点 $x=2$(変曲点)、というように、$n$ 回微分の零点がちょうど $x=n$ に並ぶ。

「何回微分したか」と「零点の位置」がそろって進む、美しい規則だ。極値も変曲点も、この一つの式から読み取れる。

別解

別解 — 導関数の一般式から $y^{\prime \prime }$ を出す(得意な人向けの視点)。 $2$ 回積の微分をするかわりに、$x{e}^{-x}$ の $n$ 次導関数の規則を知っていれば $y^{\prime \prime }$ が即座に書ける。

$1,2$ 回微分すると

$$y^{\prime }=(1-x)e^{-x},y^{\prime \prime }=(x-2)e^{-x}.$$

規則は $y^{(n)}=(-1{)}^n(x-n)e^{-x}$。$n=2$ を入れれば $y^{\prime \prime }=(-1{)}^2(x-2)e^{-x}=(x-2)e^{-x}$ とすぐ出る。

$e^{-x}>0$ だから $y^{\prime \prime }=0$ は $x=2$。$x<2$ で $y^{\prime \prime }<0$(上に凸)、$x>2$ で $y^{\prime \prime }>0$(下に凸)と符号が変わるので変曲点。$y=2e^{-2}=\frac{2}{e^2}$。

地道に $2$ 回微分する本解と同じ。$(x-n)e^{-x}$ という一般式を持っておくと、何階でも符号の変わり目($x=n$)がすぐ分かり、変曲点探しが速くなる。