x log x の極限と 0 の 0 乗

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x\log x$($x\to +0$)は $0\times (-\infty )$ の不定形だ。$t=\frac{1}{x}$ で裏返すと $-\frac{\log t}{t}$($t\to \infty$)。「対数はべきより遅い」という競争の問題になる。

その定量化が(1)の $\log t<2\sqrt{t}$ だ。これで割れば $\frac{\log t}{t}<\frac{2}{\sqrt{t}}\to 0$ とはさめる。

(3)の $x^x$ は $e^{x\log x}$ と対数化すれば、肩に(2)がそのまま乗っている。

① (1) を示す。 $\psi (t)=2\sqrt{t}-\log t$ とおくと $\psi (1)=2>0$ で

$${\psi }^{\prime }(t)=\frac{1}{\sqrt{t}}-\frac{1}{t}=\frac{\sqrt{t}-1}{t}\ge 0(t\ge 1)$$

よって $\psi$ は増加し $\psi (t)\ge \psi (1)=2>0$、すなわち $\log t<2\sqrt{t}$。

② (2) を示す。 $0<x<1$ に対し $t=\frac{1}{x}>1$ とおくと、(1)より

$$|x\log x|=x\log \frac{1}{x}=\frac{\log t}{t}<\frac{2\sqrt{t}}{t}=\frac{2}{\sqrt{t}}=2\sqrt{x}$$

$x\to +0$ で $2\sqrt{x}\to 0$ だから、はさみうちで $x\log x\to 0$。

③ (3) を求める。 $x>0$ で $x^x=e^{x\log x}$。(2)と指数関数の連続性から

$$\underset{x\to +0}{\lim }{x}^x=e^0=1$$

まとめ: 「不定形は裏返して log とべきの競争に翻訳 → 評価不等式で定量化 → はさみうち」の3段。$x^x\to 1$ は「0の0乗は1に見える」という有名な現象で、その根拠がこの小問の階段にすべて書かれている。

発展 — 一歩先へ。 タワーを1段増やすと答えが変わる: $x^{x^x}=e^{x^x\log x}$ で $x^x\to 1$ だから肩は $1\cdot (-\infty )$、よって $x^{x^x}\to 0$。さらにもう1段の $x^{x^{x^x}}$ は $\to 1$ — 段数の偶奇で $1$ と $0$ を交互に繰り返す。「不定形は、どの部分がどの速さで動くかで決まる」ことの愉快な実例だ。

別解

指数の世界へ引っ越す($x=e^{-u}$ の置換)。 $\sqrt{t}$ の補題の代わりに、最初から指数で書く手もある。$x=e^{-u}$($x\to +0⟺u\to \infty$)とおくと

$$x\log x=e^{-u}\cdot (-u)=-\frac{u}{e^u}$$

「$e^u$ は $u$ よりずっと速い」を定量化する。$e^t\ge 1+t$ を2回使うと

$$e^u={\left(e^{u/2}\right)}^2\ge {\left(1+\frac{u}{2}\right)}^2\ge \frac{u^2}{4}$$

よって

$$0\le \frac{u}{e^u}\le \frac{4}{u}⟶0$$

はさみうちで $x\log x\to 0$。(3)は本解と同じく $x^x=e^{x\log x}\to e^0=1$。

$\log$ 側で押さえる(本解の $\log t<2\sqrt{t}$)か、$e$ 側で押さえる($e^u\ge \frac{u^2}{4}$)か。「接線不等式 $e^t\ge 1+t$ を2乗して2次の評価を作る」小技は、指数がらみの極限で繰り返し使える。