階乗の n 乗根の漸近(区分求積と対数の融合)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$ には $n$ 乗根と階乗が絡む。積や累乗根は、対数をとると和に化ける。

$\log \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac{1}{n}\log \frac{n!}{n^n}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\log \frac{k}{n}$。

これは $\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$($f(x)=\log x$)の形、区分求積だ。$n\to \infty$ で定積分 ${\int }_0^1\log xdx=-1$ に近づく。対数を戻して極限は $e^{-1}$。

① 対数をとる。 $L_n=\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}={\left(\frac{n!}{n^n}\right)}^{1/n}>0$ の対数は $$\log L_n=\frac{1}{n}\log \frac{n!}{n^n}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\log \frac{k}{n}.$$ (ここで $\frac{n!}{n^n}=\frac{1\cdot 2\cdots n}{n\cdot n\cdots n}=\prod _{k=1}^n\frac{k}{n}$ を使った。)

② 区分求積で積分に直す。 $f(x)=\log x$ とみて $$\underset{n\to \infty }{\lim }\log L_n={\int }_0^1\log xdx.$$

③ 積分を計算して戻す。 部分積分で ${\int }_0^1\log xdx=[x\log x-x{]}_0^1=(0-1)-0=-1$($x\to +0$ で $x\log x\to 0$)。よって $\log L_n\to -1$、したがって $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=e^{-1}=\frac{1}{e}.$$

まとめ 階乗や積の $n$ 乗根は、対数で和に開く→区分求積で積分に化ける、が黄金ルート。${\int }_0^1\log xdx=-1$ が効いて答えは $\frac{1}{e}$。数列・積分・対数・極限が一直線でつながる。

発展 — 一歩先へ。 より精密には、スターリングの公式 $n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$ から $\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\sim \frac{1}{e}(2\pi n{)}^{1/2n}\to \frac{1}{e}$。区分求積が与える主要項 $\frac{1}{e}$ に、$(2\pi n{)}^{1/2n}\to 1$ という補正がかかる形だ。「階乗の $n$ 乗根はおよそ $\frac{n}{e}$」という感覚は、計算量の見積もりなどで役立つ。

別解

別解 — 相加相乗平均で下からも押さえる(得意な人向けの視点)。 区分求積で $\frac{1}{e}$ が出るが、「なぜ $\frac{1}{e}$ 付近か」を相加相乗平均でも見られる。

$\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}=\sqrt[n]{\frac{1}{n}\cdot \frac{2}{n}\cdots \frac{n}{n}}$ は、$n$ 個の数 $\frac{1}{n},\frac{2}{n},\dots ,\frac{n}{n}$ の相乗平均だ。

相加相乗平均の不等式から、相乗平均 $\le$ 相加平均 $=\frac{1}{n}\cdot \frac{1+2+\cdots +n}{n}=\frac{n+1}{2n}\to \frac{1}{2}$。つまり極限は $\frac{1}{2}$ 以下。実際の値 $\frac{1}{e}\approx 0.368$ は、この上界 $\frac{1}{2}$ の内側に収まっている。

厳密な値は区分求積(本解)の ${\int }_0^1\log xdx=-1$ が与えるが、「$n$ 個の $\frac{k}{n}$ の相乗平均」と読むと、$\frac{1}{e}$ が“数の平均”として自然に現れる。スターリングの公式 $n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$ からも同じ $\frac{1}{e}$ が出る。