数学III / 微分法の応用

不等式の証明(2段階)

★★★ 応用不等式

問題

$x ≧ 0$ のとき、不等式 $e^{x} ≧ 1 + x + \frac{x ^{2}}{2}$ が成り立つことを示せ。

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差をとって微分すると、 $1$ つ手前の不等式( $e^{x}$ と $1 + x$ の比較)が現れる — 前段の結果を土台に積み上げる $2$ 段構えの証明。

解答・解説

方針

$g (x) = e^{x} - (1 + x + \frac{x ^{2}}{2})$ とおく。 $g (x) ≧ 0$ を示すには、 $g^{'} (x) ≧ 0$ (増加)を言えばよい。ところが $g^{'}$ の符号もすぐには分からないので、 $g^{'}$ にもう一度「差の最小」の考えを使う( $2$ 段階)。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 不等式は「差をとって $≧ 0$ を示す」が基本だ。差を $g (x)$ とおく。

ところが $g^{'}$ の符号がすぐには分からない。

じつは $g^{'}$ は、標準的な不等式 $e^{x} ≧ 1 + x$ に帰着する。

$1$ 回の微分で足りなければ、導関数にもう一段の議論を重ねる。これが多段階の発想だ。

重要

g^{'}

の符号が不明なら、

g^{'}

にも「差の最小」を使う(

2

段階の微分)

① 差を関数とおく。 $g (x) = e^{x} - (1 + x + \frac{x ^{2}}{2}) = e^{x} - 1 - x - \frac{x ^{2}}{2}$ 。

② $g^{'}$ を求める。

$g^{'} (x) = e^{x} - 1 - x$

③ $g^{'} ≧ 0$ を示す。 これは「 $e^{x} ≧ 1 + x$ 」( $x ≧ 0$ )そのもの。 $x ≧ 0$ で $e^{x} - 1 - x ≧ 0$ (下の補足参照)なので $g^{'} (x) ≧ 0$ 。よって $g$ は $x ≧ 0$ で増加。

④ 最小値を確認する。 $g$ は増加なので最小は $x = 0$ 。

$g (0) = e^{0} - 1 - 0 - 0 = 0$

よって $x ≧ 0$ で $g (x) ≧ 0$ 、すなわち $e^{x} ≧ 1 + x + \frac{x ^{2}}{2}$ 。

(補足: $e^{x} ≧ 1 + x$ は $h (x) = e^{x} - 1 - x$ 、 $h^{'} = e^{x} - 1 ≧ 0$ 、 $h (0) = 0$ から。)

y=eˣ は y=1+x+x²/2 の上にある(eˣ≥1+x+x²/2)

まとめ: $g^{'}$ の符号が直接分からないときは、 $g^{'}$ をさらに調べる( $g^{''}$ を使う、または既知の不等式に帰着)。ここでは $g^{'} = e^{x} - 1 - x$ が前段の不等式そのもので $≧ 0$ 。微分を $2$ 段重ねる発想がカギだ。

発展 — 一歩先へ。 この不等式は、最後に足す項の次数によって「成り立つ範囲」が変わる。

$e^{x} ≧ 1 + x$ は、 $x$ が正でも負でも、すべての実数で成り立つ。ところが $\frac{x ^{2}}{2}$ まで足した $e^{x} ≧ 1 + x + \frac{x ^{2}}{2}$ は、 $x ≧ 0$ でしか成り立たない。試しに $x = - 1$ を入れると、左辺 $e^{- 1} \approx 0.37$ に対し右辺は $0.5$ で、不等号が逆になる。

さらに $\frac{x ^{3}}{6}$ まで足すと、また全実数で成り立つ。 $\frac{x ^{4}}{24}$ まで足すと、また $x ≧ 0$ だけになる。最後の項が奇数次なら全実数、偶数次なら $x ≧ 0$ に限る、という規則だ。

理由は、切り捨てた残りの符号にある。 $x ≧ 0$ では残りはつねに正だが、 $x < 0$ では最後の項の偶奇で残りの符号が変わる。どこで打ち切るかが、不等式の効く範囲まで決めている。

答

g(x)=eˣ-(1+x+x²/2) について g'(x)=eˣ-1-x≥0(前問の結果)より g は増加、g(0)=0 で成立

別解

別解 — 差でなく比をとる(得意な人向けの視点)。 引き算のかわりに、 $e^{x}$ と多項式の「比」を作ると、 $1$ 回の微分で符号がすっきり決まる。

$p (x) = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2}$ とおき、 $h (x) = \frac{e ^{x}}{p ( x )}$ を考える。分母 $p (x)$ は判別式 $1 - 2 < 0$ よりつねに正なので、 $h$ はどこでも定義できる。

商の微分をすると、分子は $e^{x} p (x) - e^{x} p^{'} (x) = e^{x} (p (x) - p^{'} (x))$ 。ここで $p^{'} (x) = 1 + x$ だから $p (x) - p^{'} (x) = \frac{x ^{2}}{2}$ 。よって

$h^{'} (x) = \frac{e ^{x} \cdot \frac{x ^{2}}{2}}{p ( x ) ^{2}} .$

$e^{x} > 0$ 、 $\frac{x ^{2}}{2} ≧ 0$ 、 $p (x)^{2} > 0$ だから $h^{'} (x) ≧ 0$ 。つまり $h$ は増加する。 $h (0) = \frac{e ^{0}}{1} = 1$ だから、 $x ≧ 0$ では $h (x) ≧ 1$ 、すなわち $e^{x} ≧ p (x) = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2}$ 。

差 $g = e^{x} - p$ を調べる本解では、 $g^{'}$ の符号にもう一手(第 $2$ 次導関数か既知の不等式)が要る。比なら分子に $p - p^{'} = \frac{x ^{2}}{2}$ が自然に現れ、 $g^{''}$ を経ずに一発で符号が決まる。到達する結論は本解と同じ答え。

ポイント

$g^{'} ≧ 0$ が不明なら $g^{'}$ をさらに調べる。
$g^{'} = e^{x} - 1 - x ≧ 0$ (既知)→ $g$ 増加 → $g (0) = 0$ 。

よくある間違い

$g^{'} = e^{x} - 1 - x$ の符号がすぐ分からないのに、確かめずに「 $g$ は増加」と決めつける。
$x ≧ 0$ の条件を落とし、この不等式が全実数で成り立つと思い込む( $x < 0$ では成り立たない)。
$g (0) = 0$ という起点の確認を省き、「 $g^{'} ≧ 0$ だから $g ≧ 0$ 」と飛躍する(最小値が $0$ の確認が要る)。