数学III / 微分法の応用

接線の傾き(微分係数)

★ 基礎接線

問題

曲線 $y = x^{2}$ 上の点 $(1, 1)$ における接線の方程式を求めよ。

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傾きは微分係数、通る点は与えられている。基本の手順どおりに。

解答・解説

方針

傾きは $f^{'} (x) = 2 x$ の $x = 1$ での値 $2$ 。点 $(1, 1)$ を通る直線を作る。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $y = x^{2}$ の接線 — これは数IIで扱った、いちばん基本の接線だ。

手順を、もう一度確認しておこう。

① 傾きを出す。

$f (x) = x^{2} ⟹ f^{'} (x) = 2 x$

$f^{'} (1) = 2$

② 点 $(1, 1)$ を通る、傾き $2$ の直線を書く。

$y - 1 = 2 (x - 1)$

$y = 2 x - 1$

接線の公式は、これだけだ。

$y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$

「点 $(a, f (a))$ を通り、傾き $f^{'} (a)$ の直線」 — 意味を読めば、覚える必要すらない。

数IIIに入っても、接線の作り方は $1$ ミリも変わらない。 変わるのは、微分する関数の種類だけである。

基本を、確実に。

公式接線

y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)

① 傾きを求める。 $f^{'} (x) = 2 x$ 、 $f^{'} (1) = 2$ 。

② 直線を作る。

$y - 1 = 2 (x - 1) \Rightarrow y = 2 x - 1$

y=x² と点(1,1)での接線 y=2x−1

まとめ:接線の基本。傾き $f^{'} (1) = 2$ 、点 $(1, 1)$ を通る。数III でも数II でも、接線は「傾き $f^{'} (a)$ の点 $(a, f (a))$ を通る直線」で変わらない。

発展 — 一歩先へ。 接線 $y = 2 x - 1$ と放物線 $y = x^{2}$ の関係を、もう少し掘ってみよう。

接線は、放物線の下にある。

$x^{2} ≧ 2 x - 1$

確かめる。 移項すると

$x^{2} - 2 x + 1 ≧ 0 ⟹ (x - 1)^{2} ≧ 0$

平方だから、常に $0$ 以上 ✓ 等号は $x = 1$ (接点)のときだけ。

$y = x^{2}$ は下に凸なので、どの接線もグラフの下にある。

この性質を使うと、面白い不等式が作れる。

接点を $a$ とした一般の接線は

$y = 2 a (x - a) + a^{2} = 2 a x - a^{2}$

放物線が接線の上にあるので

$x^{2} ≧ 2 a x - a^{2} (すべての x, a)$

整理すると

$x^{2} + a^{2} ≧ 2 a x$

$2$ 数の平方和と積の、有名な不等式が出てきた。

相加相乗( $x^{2}$ と $a^{2}$ の)そのものである。

「放物線が接線の上」という幾何的事実が、代数の不等式になった。

さて、もう $1$ つ。接線と放物線が囲む面積を考えてみよう。

接線 $y = 2 x - 1$ と、放物線 $y = x^{2}$ 。 この $2$ つは $1$ 点で接するだけで、面積は囲まない。

では、放物線と、別の直線 $y = 2 x + k$ ( $k > - 1$ )なら?

$2$ 点で交わり、間に面積ができる。

$x^{2} = 2 x + k ⟹ x^{2} - 2 x - k = 0$

解を $α$ 、 $β$ ( $α < β$ )とすると、囲む面積は

$S = \int_{α}^{β} {(2 x + k) - x^{2}} d x = \frac{( β - α ) ^{3}}{6}$

有名な $\frac{1}{6}$ 公式である。

面積が、 $2$ 交点の距離の $3$ 乗で決まる。

$k \to - 1$ とすると、 $2$ 交点が近づいて重なり( $β - α \to 0$ )、面積も $0$ に近づく。

その極限が、まさに「接する」状態だ。

接線とは、「面積 $0$ の極限」でもある。

$2$ 交点が重なった瞬間、囲む領域は消滅する。

接する、重解、面積 $0$ — $3$ つの言葉が、同じ $1$ つの現象を語っている。

幾何(接する)、代数(重解)、解析(面積 $0$ )。

数学の $3$ つの部門が、 $1$ 本の接線の上で出会っている。

答

$y = 2 x - 1$

別解

微分を使わずに、「接する」を代数で表現する。

微分が発明される前、人々はどうやって接線を求めていたのか。

「接する $=$ 重解をもつ」という代数的な言い換えを使ったのだ。

接線とは何か。

曲線と、 $1$ 点だけを共有する直線 — と言いたくなるが、正確ではない。

正しくは、「 $2$ つの交点が重なって $1$ 点になった」直線である。

$2$ 次曲線の場合、この言い換えが完璧に効く。

点 $(1, 1)$ を通る、傾き $m$ の直線を考える。

$y = m (x - 1) + 1$

放物線 $y = x^{2}$ との交点を求める。

$x^{2} = m (x - 1) + 1$

$x^{2} - m x + m - 1 = 0$

この $2$ 次方程式の解が、交点の $x$ 座標だ。

接する条件は、「重解をもつ」こと。 つまり判別式が $0$ 。

$D = m^{2} - 4 (m - 1) = m^{2} - 4 m + 4 = (m - 2)^{2}$

$D = 0 ⟹ (m - 2)^{2} = 0 ⟹ m = 2$

傾きが $2$ と決まった!

接線は

$y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1$

本解と同じ答え ✓ 微分を $1$ 度も使っていない。

重解になっていることを、確かめよう。 $m = 2$ を代入すると

$x^{2} - 2 x + 1 = 0 ⟹ (x - 1)^{2} = 0 ⟹ x = 1 (重解)$

確かに、 $x = 1$ が $2$ 重に現れる。 これが「接する」ということの代数的な姿だ。

この方法は、 $17$ 世紀のフェルマーやデカルトが使っていた。

微分が生まれる前の、接線の求め方である。

だが、この方法には決定的な限界がある。

「重解」という言い換えが使えるのは、多項式(それも低次)だけなのだ。

$y = e^{x}$ や $y = sin x$ の接線を、この方法で求められるか?

$e^{x} = m x + n$

この方程式が「重解をもつ条件」を、判別式で書けるだろうか。

書けない。 判別式は、 $2$ 次方程式のための道具にすぎない。

ここで、微分の圧倒的な強さが分かる。

微分なら、どんな関数でも同じ手順で接線が出る。

$y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$

$e^{x}$ でも $sin x$ でも $lo g x$ でも、この $1$ 行で終わり。

「特殊な技巧」から「普遍的な方法」へ。

ニュートンとライプニッツがやったのは、まさにこの転換だった。

判別式による接線は、鮮やかだ。だが、それは $2$ 次曲線という狭い世界でしか通用しない。

微分は、あらゆる曲線に通用する。 その普遍性こそが、微積分が科学を変えた理由なのである。

ポイント

接線の傾き $= f^{'} (a)$ 。
点を通る直線の式に代入。

よくある間違い

接線の式で $f (a)$ を足し忘れ、 $y = 2 (x - 1)$ としてしまう。接点の $y$ 座標を必ず足す
導関数 $f^{'} (x) = 2 x$ をそのまま傾きに使い、 $y - 1 = 2 x (x - 1)$ と書いてしまう。傾きは $f^{'} (1) = 2$ という数値
「接線は曲線と $1$ 点だけで交わる」と思い込む。 $3$ 次曲線などでは、接線が別の点で曲線と交わることもある