指数と2次曲線の交点の個数(微分で最小値を調べる)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $e^x=a{x}^2$ の解の個数を、$a$ で場合分けしたい。$a$ を分離するのが定石だ。

$x>0$ で両辺を $x^2$ で割ると $a=\frac{e^x}{x^2}$。左辺は水平線 $y=a$、右辺は曲線 $g(x)=\frac{e^x}{x^2}$。交点の個数を数えればよい。

$g(x)$ の形は微分で分かる。$g^{\prime }(x)=0$ から最小点 $x=2$ が出て、そこが谷底。水平線 $y=a$ が谷底より上か・接するか・下かで、交点が $2$ 個・$1$ 個・$0$ 個と決まる。

① 定数を分離する。 $x>0$ より $e^x=a{x}^2⟺a=\frac{e^x}{x^2}$。右辺を $g(x)=\frac{e^x}{x^2}$ とおく。

② 増減を調べて谷を見つける。 商の微分から $$g^{\prime }(x)=\frac{e^x\cdot x^2-e^x\cdot 2x}{x^4}=\frac{e^x(x-2)}{x^3}.$$ $x>0$ で $x^3>0,e^x>0$ だから、$g^{\prime }$ の符号は $x-2$ の符号と同じ。$0<x<2$ で減少、$x>2$ で増加。よって $x=2$ で最小。

③ 水平線 $y=a$ との交点を数える。 谷の底が $\frac{e^2}{4}$ で、両側は $+\infty$ へ立ち上がる。よって

• $0<a<\frac{e^2}{4}$ … 交わらない(実数解 $0$ 個)
• $a=\frac{e^2}{4}$ … 谷の底で接する($1$ 個)
• $a>\frac{e^2}{4}$ … 谷の両側で1点ずつ($2$ 個)

まとめ 「解の個数を $a$ で分類」は、$a$ を分離して“動く水平線 対 固定曲線”に翻訳するのが王道。曲線の極値(谷の深さ)が分岐点になる。微分は谷を見つける道具として効く。

発展 — 一歩先へ。 谷底の値 $\frac{e^2}{4}$ は「$e^x$ と $x^2$ が接する($=$ 重解をもつ)ちょうどの $a$」。一般に $e^x=a{x}^n$ の接する条件は、$x=n$ で $a=\frac{e^n}{n^n}$。指数関数がどんな多項式よりも速く増える($x\to \infty$ で必ず追い抜く)ことの、境界を与える値である。

別解

別解 — 対数をとって直線 $\times$ 曲線の交わりに直す(得意な人向けの視点)。 $a=\frac{e^x}{x^2}$ の両辺の対数をとる。

$$\log a=x-2\log x.$$

右辺を $h(x)=x-2\log x$ とおくと、水平線 $y=\log a$ との交点を数える問題に変わる。$h^{\prime }(x)=1-\frac{2}{x}=0$ から $x=2$ が唯一の極小(谷底)で、$h(2)=2-2\log 2=\log \frac{e^2}{4}$。

$\log a$ が谷底 $\log \frac{e^2}{4}$ より下なら交点 $0$、等しければ $1$(接する)、上なら $2$。対数は単調だから、これは $a$ と $\frac{e^2}{4}$ の大小そのもの。

分数関数 $\frac{e^x}{x^2}$ の増減を調べる(本解)代わりに、$\log$ をとると $x-2\log x$ という素直な関数になり、$h^{\prime }(x)=1-\frac{2}{x}$ の符号が一目で読める。指数と多項式が混じる比は、対数をとると扱いやすい。