曲線 y=eˣ と直線 y=x の最短距離

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 曲線上の点を $(t,e^t)$ とパラメータ表示し、点と直線の距離の公式に乗せる。距離は $\frac{|e^t-t|}{\sqrt{2}}$。距離の最小化が、1変数関数 $g(t)=e^t-t$ の最小化に翻訳された。

$g$ の最小値が正なら、絶対値も自動的に外れる(曲線が直線と交わらないことの証明を兼ねる)。

幾何の直感では「最も近い点では、接線が相手の直線と平行」。微分の答えと最後に照合できる。

① 距離を関数にする。 曲線上の点 $(t,e^t)$ と直線 $y=x$ の距離は

$$d(t)=\frac{|t-e^t|}{\sqrt{2}}=\frac{|e^t-t|}{\sqrt{2}}$$

② $g(t)=e^t-t$ の最小。

$$g^{\prime }(t)=e^t-1$$

$t<0$ で負、$t>0$ で正だから $g$ は $t=0$ で最小となり、最小値は $g(0)=1$。とくに常に $g(t)\ge 1>0$、つまり $e^t>t$ — 曲線は直線の上側にあり、絶対値はそのまま外れる。

③ 最小距離。

$$d(t)=\frac{e^t-t}{\sqrt{2}}\ge \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

等号は $t=0$、すなわち曲線上の点 $(0,1)$ のとき。このとき接線の傾きは $e^0=1$ で直線 $y=x$ と平行 — 「最近点では接線が相手と平行」という幾何の感覚とも一致する。

まとめ: 「距離の最小化 → 差の関数の最小化」への翻訳が全て。1回の微分で、最小距離・最近点・「曲線と直線が交わらない」ことの3つが同時に手に入る経済的な構図で、答えの検算(接線の平行)まで幾何が用意してくれている。

発展 — 一歩先へ。 $y=e^x$ と $y=\log x$(互いに逆関数)は直線 $y=x$ について鏡映だから、両者の最短距離は「$e^x$ と $y=x$ の最短距離の2倍」、すなわち $\sqrt{2}$ になる(最近点は $(0,1)$ と $(1,0)$)。逆関数のペアの間の距離は、鏡 $y=x$ を経由して測る — 対称性が計算を半分にしてくれる。

別解

平行条件で先に当てて、凸性で確定する(幾何が主役)。 最短距離の点では、曲線の接線が相手の直線と平行になるはずだ(平行でなければ、接線に沿って少し動くと直線に近づけてしまう)。

この必要条件から先に点を特定する:

$$(e^x{)}^{\prime }=e^t=1(y=x\text{の傾き})⟺t=0$$

候補は点 $(0,1)$ のみ。距離は $\frac{|0-1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

これが本当に最小であることは、距離関数 $d(t)=\frac{e^t-t}{\sqrt{2}}$($e^t>t$ は $g$ の最小値1から)が

$$d^{\prime \prime }(t)=\frac{e^t}{\sqrt{2}}>0$$

で下に凸、極値は $t=0$ の1つだけ、から確定する(凸関数の唯一の停留点は最小)。

本解は「距離関数を作って最小化」という万能の直進ルート、本ルートは「幾何の必要条件で候補を1点に絞ってから確定」という狙撃ルート。候補が先に見えると、計算量は半分になる。