接線の方程式(三角関数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 手順は変わらない。傾きを出して、点を通す。

$$f(x)=\sin x⟹f^{\prime }(x)=\cos x$$

$$f^{\prime }(0)=\cos 0=1$$

傾きは $1$。原点を通る。

$$y=x$$

答えは、驚くほど単純だ。

だが、この結果には見覚えがあるはずだ。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

この基本極限は、「原点の近くで $\sin x\approx x$」という意味だった。

今、それが「原点での接線が $y=x$」という形で、幾何的に確認された。

$2$ つは、同じ事実の言い換えである。

• 極限の言葉: $\frac{\sin x}{x}\to 1$
• 接線の言葉: 原点での接線は $y=x$

計算と図形が、$1$ 点でつながっている。 その手応えを味わってほしい。

① 傾きを求める。 $f^{\prime }(x)=\cos x$ なので $f^{\prime }(0)=\cos 0=1$。

② 原点を通る直線を作る。

$$y=1\cdot (x-0)=x$$

まとめ:$\sin x$ の原点での傾きは $\cos 0=1$。接線は $y=x$。これは基本極限 $\frac{\sin x}{x}\to 1$($x\to 0$ で $\sin x\approx x$)と同じことを言っている。原点付近で $\sin x$ と $y=x$ がほぼ重なる。

発展 — 一歩先へ。 接線 $y=x$ は、$\sin x$ の $1$ 次近似だった。もっと精度を上げよう。

$$\sin x\approx x-\frac{x^3}{6}$$

$3$ 次の項を足すと、精度が跳ね上がる。

$x=0.5$ で比べてみよう(真の値は $\sin 0.5=0.479426\dots$)。

• $1$ 次近似 $x=0.5$ → 誤差 $0.0206$
• $3$ 次近似 $0.5-\frac{0.125}{6}=0.479167$ → 誤差 $0.00026$

誤差が $80$ 分の $1$ に減った。

さらに項を足すと

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$

奇数次の項だけが現れ、符号が交互に変わる。

なぜ奇数次だけか。

$\sin x$ は奇関数($\sin (-x)=-\sin x$)だからだ。 偶数次の項($x^2$、$x^4$)があると、対称性が壊れてしまう。

$\cos x$ は偶関数なので、偶数次だけが現れる。

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$

関数の対称性が、そのまま級数の形に刻まれている。

この級数は、実用上とてつもなく重要だ。

コンピュータは、$\sin$ をどう計算しているのか。

三角比の表を持っているわけではない。 この級数を、必要な精度まで足し上げているのだ。

$x$ が小さければ、数項で十分な精度が出る。

$x$ が大きいときは? 周期性($\sin (x+2\pi )=\sin x$)を使って、まず $x$ を $0$ の近くに引き寄せる。それから級数を使う。

「近似は、$0$ の近くでいちばんよく効く。だから $0$ の近くに持ち込む。」

これが数値計算の基本戦略である。

そして、この級数からは、思わぬ結果も導ける。

両辺を $x$ で割ると

$$\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}-\cdots$$

$x\to 0$ とすると、右辺は $1$。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

基本極限が、級数から一瞬で出た。

はさみうちの証明が要らない。 級数という強力な武器を手にすると、極限は「見るだけ」で分かるようになる。

「接線 = $1$ 次近似」から始まった話が、無限級数を経て、また基本極限に戻ってきた。

数学は、こうして円環をなす。

別解

微分の公式を使わず、定義の極限から直接、傾きを出す。

微分係数の定義に、正面から戻ってみよう。

$$f^{\prime }(0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin h-\sin 0}{h}$$

$\sin 0=0$ だから

$$f^{\prime }(0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin h}{h}$$

この極限は、$1$ である(三角関数の基本極限)。

$$f^{\prime }(0)=1$$

傾きが $1$、原点を通るので、接線は $y=x$ ✓

$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ という公式を、$1$ 度も使っていない。

なぜ、これが意味をもつのか。

そもそも、$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ という公式は、$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin h}{h}=1$ から導かれたものだった。

つまり、順序としてはこうだ。

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin h}{h}=1⟹(\sin x{)}^{\prime }=\cos x⟹\text{原点での接線}=y=x$$

この別解は、途中を飛ばして、いちばん根っこから直接、接線を出したことになる。

そして、いま「接線が $y=x$」ということの図形的な意味を確認しよう。

$\sin x$ のグラフは、原点で $45^{\circ }$ の傾きをもつ。

単位円で考えると、こうだ。 角 $x$(弧度法)は弧の長さ、$\sin x$ は縦の高さ。

角が小さいとき、弧はほとんど直線に見え、その高さは弧の長さとほぼ同じ。

$$\text{弧の長さ }x\approx \text{高さ }\sin x$$

これが $y=x$ という接線の正体である。

数値で確かめよう。

$$\sin (0.1)=0.09983\dots$$

$0.1$ に対して、誤差は $0.00017$。

$$\sin (0.01)=0.00999983\dots$$

誤差は $1.7\times 10^{-7}$。

誤差は、$x^3$ に比例して小さくなる(実際 $\sin x\approx x-\frac{x^3}{6}$)。

$$x-\sin x\approx \frac{x^3}{6}$$

$x=0.1$ なら $\frac{0.001}{6}=0.000167$ — 上の誤差と一致する ✓

この近似 $\sin x\approx x$ は、物理では絶大な威力を発揮する。

振り子、バネ、弦の振動、光の回折 — すべて「角度が小さい」という仮定のもとで、$\sin \theta$ を $\theta$ に置き換えて、方程式を解いている。

この置き換えを許しているのが、原点での接線 $y=x$ なのだ。

接線 $1$ 本が、物理学の計算を可能にしている。