方程式の実数解の個数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{\log x}{x}=a$ の解の個数を知りたい。

これは $y=\frac{\log x}{x}$ のグラフと横線 $y=a$ の交点の数に等しい。

交点数を測るものさしは、曲線の極大 $\frac{1}{e}$($x=e$)と、両端での振る舞いだ。

方程式を「関数と定数のグラフの交点」に分けて、極値で個数を判定する。数IIで学ぶ定数分離の発想を、数IIIの関数で使う。

① 曲線の概形を押さえる。 $y=\frac{\log x}{x}$($x>0$)は、$x=e$ で極大値 $\frac{1}{e}$。$x\to +0$ で $y\to -\infty$、$x\to \infty$ で $y\to 0$($x$ 軸に上から近づく)。$x=1$ で $y=0$。

② 横線 $y=a$($a>0$)との交点を数える。 $a>0$ の横線は、曲線の「$x>1$ の山の部分($0<y\leqq \frac{1}{e}$)」とだけ交わりうる。

• $a>\frac{1}{e}$(極大より上):交点 $0$ 個。
• $a=\frac{1}{e}$(極大の高さ):接する $1$ 個($x=e$)。
• $0<a<\frac{1}{e}$:山を上りと下りで $2$ 回横切る $2$ 個。

まとめ:「方程式の解の個数」は定数分離して横線との交点数。$y=\frac{\log x}{x}$ の極大値 $\frac{1}{e}$ がしきい値。$a$ がこれより上で $0$ 個、等しいとき $1$ 個、下で(かつ $a>0$)$2$ 個となる。

発展 — 一歩先へ。 解の個数が切りかわる $a$ に注目する。ここでは $a=\frac{1}{e}$ が境目で、これは曲線の極大値、つまり「いちばん高い所」の高さそのものだった。

ただし、境目になる高さは極値だけとは限らない。この曲線は $x\to \infty$ で $y\to 0$ に上から近づくので、漸近線の高さ $a=0$ ももう一つの境目だ。実際、$a$ を上から $0$ に近づけると $2$ つの解は左右に開き、片方は $x=1$($\log x=0$ の点)へ、もう片方は減少する枝を右へたどって $x\to \infty$ へ逃げていく。低い横線ほど、山のふもとの遠い所まで曲線と交わるからだ。

一般に、$f(x)=a$ の解の個数が変わる境目の高さは、$f$ の極値の $y$ 座標か、端での極限値(漸近線の水準)で起こる。この関数では、極大 $\frac{1}{e}$ で交点が減りはじめ、漸近線 $0$ で交わり方が変わる。$2$ 種類の「特別な高さ」を意識すると、横線を上下に動かしたときの個数の移り変わりがひと目で追える。

別解

別解 — 置きかえて見慣れた形にする(苦手な人向けの視点)。 $t=\log x$ と置くと、$x=e^t$ で、$x>0$ に対し $t$ は全実数を動く。左辺は

$$\frac{\log x}{x}=\frac{t}{e^t}=t{e}^{-t}.$$

だから方程式は $t{e}^{-t}=a$ に変わる。曲線 $y=t{e}^{-t}$ は $t=1$ で最大値 $\frac{1}{e}$ をとり、$t\to \infty$ で $0$ に近づく山型だ($a>0$ の横線は $t>0$ 側とだけ交わる)。

横線 $y=a$ との交点を数えると、$a>\frac{1}{e}$ で $0$ 個、$a=\frac{1}{e}$ で $1$ 個、$0<a<\frac{1}{e}$ で $2$ 個。

$\frac{\log x}{x}$ を直接調べる本解と同じ結果。$t{e}^{-t}$ は「べき $\times$ 指数」の見慣れた山型で、$\frac{\log x}{x}$ より形を思い描きやすい人には近道になる。