接線の方程式(指数関数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 接線を求める手順は、いつも同じ $2$ 段階だ。

① 傾きを出す — それが微分係数である

② 傾きと通る点から、直線の式を書く

この問題では、点 $(0,1)$ での傾きが要る。

$$f(x)=e^x⟹f^{\prime }(x)=e^x$$

$$f^{\prime }(0)=e^0=1$$

傾き $1$、つまり $45^{\circ }$ の直線だ。

そして、点 $(0,1)$ を通る。

$$y-1=1\cdot (x-0)⟹y=x+1$$

関数が $e^x$ に変わっても、$\log x$ でも $\sin x$ でも、接線の作り方は変わらない。

「微分係数を傾きにして、点を通す」 — 数IIで身につけたこの $1$ 手が、そのまま使える。

① 傾きを求める。 $f^{\prime }(x)=e^x$ なので $f^{\prime }(0)=e^0=1$。

② 点 $(0,1)$ を通る直線を作る。

$$y-1=1\cdot (x-0)\Rightarrow y=x+1$$

まとめ:数III でも接線の作り方は同じ。「傾き $=f^{\prime }(a)$、通る点 $=(a,f(a))$」。$e^x$ の微分が $e^x$ なので、$x=0$ での傾きは $1$。$y=x+1$ は $e^x$ の原点付近での近似にもなっている。

発展 — 一歩先へ。 接線は $1$ 次の近似だった。では、もっと精度を上げるには?

$2$ 次の項を足せばいい。

$$e^x\approx 1+x+\frac{x^2}{2}$$

$3$ 次なら

$$e^x\approx 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}$$

この調子で、無限に続けると

$$\boxed{e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots }$$

マクローリン展開(テイラー展開)という。

$e^x$ という超越的な関数が、$x$ のべき($1$ 次、$2$ 次、$3$ 次 $\dots$)の無限和で書けてしまった。

係数の分母は、階乗だ。 なぜか。

$n$ 回微分したときの値が、係数を決めるからである。

$$f(x)=\sum a_n{x}^n⟹f^{(n)}(0)=n!a_n⟹a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$$

$e^x$ は何回微分しても $e^x$ で、$x=0$ での値は常に $1$。 だから $a_n=\frac{1}{n!}$。

$x=1$ を代入すると、$e$ の正体が現れる。

$$e=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\cdots =2.71828\dots$$

$e$ を計算する、いちばん実用的な方法だ。 $10$ 項も足せば、小数点以下 $7$ 桁が合う。

同じことが、$\sin$ と $\cos$ にもできる。

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$

そして、ここに $e^{ix}$ を並べると、奇跡が起こる。

$$e^{ix}=1+ix+\frac{(ix{)}^2}{2!}+\frac{(ix{)}^3}{3!}+\cdots$$

$i^2=-1$、$i^3=-i$、$i^4=1$ を使って整理すると

$$=\underset{\cos x}{\underbrace{\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots \right)}}+i\underset{\sin x}{\underbrace{\left(x-\frac{x^3}{3!}+\cdots \right)}}$$

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

オイラーの公式が、級数から導けた。

指数関数と三角関数は、まったく別物に見える。 だが、べき級数の形で書くと、同じ家族だったことが分かる。

そして、コンピュータが $\sin$ や $e^x$ を計算する方法も、これだ。 内部では、この級数を有限項で打ち切って足している。

「接線 $=$ $1$ 次近似」という素朴な発想の先に、関数のすべてを級数で書き尽くす世界が広がっている。

別解

接線を「最良の $1$ 次近似」として読む。

答えの $y=x+1$ が、何を意味するのかを考える別解である。

接点のごく近くでは、曲線と接線はほとんど重なっている。

つまり、$x$ が $0$ に近いとき

$$e^x\approx x+1$$

この近似が、どれくらい正確か。数値で見てみよう。

$$e^{0.1}=1.10517\dots \text{近似値: }1.1$$

誤差は $0.005$。

$$e^{0.01}=1.010050\dots \text{近似値: }1.01$$

誤差は $0.00005$。

$x$ を $\frac{1}{10}$ にすると、誤差は $\frac{1}{100}$ になった。

誤差が、$x$ の $2$ 乗のオーダーで小さくなる。 これが「接線が最良の $1$ 次近似である」ことの意味だ。

$1$ 次近似の一般形。

$$f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)(x\text{ が }a\text{ に近いとき})$$

この右辺は、まさに接線の式だ。

実用的な近似公式が、次々に出てくる。

$$e^x\approx 1+x,\log (1+x)\approx x,\sin x\approx x,\sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2}$$

すべて、$x=0$ での接線である。

$\sqrt{1.02}$ を暗算してみよう。

$$\sqrt{1+0.02}\approx 1+\frac{0.02}{2}=1.01$$

実際は $1.00995\dots$ — 小数第 $4$ 位まで合っている。

もう $1$ つ、この接線には重要な性質がある。

$e^x$ のグラフは、接線 $y=x+1$ の常に上にある。

$$e^x\geqq x+1(\text{すべての実数 }x)$$

等号は $x=0$ のときだけ。

なぜか。 $e^x$ は下に凸(常に $y^{\prime \prime }=e^x>0$)だからだ。

下に凸な関数は、どの接線よりも上にある。

この不等式は、意外なところで役に立つ。

$x=-1$ を入れると $e^{-1}\geqq 0$ — 当たり前。

$x$ に $\log t$ を入れると

$$e^{\log t}\geqq \log t+1⟹t-1\geqq \log t$$

$\log$ の基本不等式が出てきた!

$1$ 本の接線から、$2$ つの重要な不等式が生まれる。

接線は、単に「曲線に触れる直線」ではない。曲線を近似し、曲線を上下から押さえる、強力な道具なのだ。