数学III / 微分法の応用

接線型不等式から相加相乗平均へ

最難関編不等式の証明相加相乗

問題

(1) $x > 0$ のとき $lo g x \leq x - 1$ が成り立つことを示せ。また、等号が成り立つ $x$ を求めよ。

(2) $n$ を2以上の自然数、 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ を正の実数とする。(1)を用いて、不等式

$\frac{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n}}{n} \geq n a_{1} a_{2} \dots a_{n}$

を証明せよ。

ヒントを見る

(1)の不等式は「何を代入しても成り立つ」万能の型。(2)では、右辺 $x - 1$ の和がちょうど0になるような代入が設計できないか — 平均で割った比、という規格化に気づけるか。

解答・解説

方針

(1)は差の増減表。(2)が本番: (1)の x に「各 aᵢ を相加平均 A で割った比」を代入して n 本足すと、右辺が Σaᵢ/A − n = 0 に消え、左辺に log の和=積の log が残る — n 変数の相加相乗が一気に出る。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $n$ 変数の相加相乗を2変数の繰り返しで示すのは、 $n$ が2のべきでないと面倒だ。

鮮やかなのは、(1)の接線型不等式 $lo g x \leq x - 1$ ( $y = lo g x$ の $x = 1$ での接線が $y = x - 1$ )を万能の部品として使う道。 $x$ に各 $a_{i}$ を相加平均 $A$ で割った比を代入して足すと、右辺の和が $\sum \frac{a _{i}}{A} - n = n - n = 0$ と設計どおりに消える。

左辺には $lo g$ の和=積の $lo g$ が残る。指数に戻せば、相加相乗そのものだ。

重要接線型不等式

lo g x \leq x - 1

(等号は

x = 1

)に「平均で規格化した比」を代入して足す — 右辺が消えるように代入を設計する

① (1) を示す。 $φ (x) = x - 1 - lo g x$ とおくと

$φ^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$

$0 < x < 1$ で負、 $x > 1$ で正だから $φ$ は $x = 1$ で最小となり $φ (1) = 0$ 。よって $φ (x) \geq 0$ 、すなわち $lo g x \leq x - 1$ で、等号は $x = 1$ のときに限る。

② 規格化して代入する((2))。 $A = \frac{a _{1} + \dots + a _{n}}{n} > 0$ とおく。(1)に $x = \frac{a _{i}}{A} > 0$ を代入すると

$lo g \frac{a _{i}}{A} \leq \frac{a _{i}}{A} - 1 (i = 1, \dots, n)$

$n$ 本を辺々加えると、右辺は

$i = 1 \sum n (\frac{a _{i}}{A} - 1) = \frac{n A}{A} - n = 0$

③ 積の形に戻す。 左辺は $lo g$ の和だから

$lo g \frac{a _{1} a _{2} \dots a _{n}}{A ^{n}} \leq 0 ⟹ a_{1} a_{2} \dots a_{n} \leq A^{n} ⟹ n a_{1} \dots a_{n} \leq A$

これが示すべき不等式である。なお等号は、すべての $i$ で $\frac{a _{i}}{A} = 1$ 、つまり $a_{1} = \dots = a_{n}$ のときに限る。

まとめ: 「接線不等式 + 右辺が消える規格化」— 凸性の使い方のいちばん短い形で、 $n$ 変数の名高い不等式が微分1回の(1)から3行で落ちる。等号条件まで(1)の等号からそのまま継承されるのも美しい。

発展 — 一歩先へ。 同じ代入設計で重みつき相加相乗も出る。 $w_{1} + \dots + w_{n} = 1$ ( $w_{i} > 0$ )のとき $a_{1}^{w_{1}} \dots a_{n}^{w_{n}} \leq w_{1} a_{1} + \dots + w_{n} a_{n}$ — (1)に $x = \frac{a _{i}}{\sum w _{j} a _{j}}$ を代入して $w_{i}$ 倍して足すだけ。等重み $w_{i} = \frac{1}{n}$ が本問だ。この「凸関数の接線で押さえて重みつきで足す」構図は、イェンセンの不等式として一般化され、不等式証明の中心的な工具になる。

答

(1) $x = 1$ で等号(証明) (2) $x = \frac{a _{i}}{A}$ ( $A$ は相加平均)を代入して足すと右辺の和が消える(証明)

別解

2変数から育てる(コーシーの前進後退帰納法)。 歴史的に有名な、もう1つの道も紹介しよう。

前進: $n = 2$ は $(a - b)^{2} \geq 0$ から $\frac{a + b}{2} \geq ab$ 。これを2回使うと $n = 4$ :

$\frac{a + b + c + d}{4} = \frac{\frac{a + b}{2} + \frac{c + d}{2}}{2} \geq \frac{a + b}{2} \cdot \frac{c + d}{2} \geq ab c d = 4 ab c d$

同様に $n = 8, 16, \dots$ と、 $2$ のべきすべてで成り立つ。

後退: $n$ で成り立てば $n - 1$ でも成り立つ。 $a_{1}, \dots, a_{n - 1}$ に、その平均 $A^{'} = \frac{a _{1} + \dots + a _{n - 1}}{n - 1}$ を $n$ 個目として足すと、 $n$ 個の平均も $A^{'}$ のまま。 $n$ 変数の相加相乗から

$A^{'} \geq n a_{1} \dots a_{n - 1} A^{'} ⟹ A^{' n} \geq a_{1} \dots a_{n - 1} A^{'} ⟹ A^{' n - 1} \geq a_{1} \dots a_{n - 1}$

2のべきまで前進し、そこから1つずつ後退すれば、すべての $n$ に届く。

接線不等式(本解)は3行で全 $n$ を落とす現代的な道、前進後退は「平均を自分に足す」自己言及の妙技。どちらも数学の宝物だ。

ポイント

$lo g x \leq x - 1$ ( $x = 1$ で等号)は接線型不等式。
$x = \frac{a _{i}}{A}$ を代入して足すと右辺が0に消える。
$lo g \frac{\prod a _{i}}{A ^{n}} \leq 0$ → 相加相乗(等号は全部等しいとき)。

よくある間違い

(2)で規格化せずに $x = a_{i}$ を代入し、右辺の和が消えずに行き詰まる(平均で割った比、という設計が心臓部)。
$lo g$ の和を積の $lo g$ にまとめるとき、 $A^{n}$ (分母が $n$ 個)を $A$ と書いてしまう。
等号条件を書き忘れる。(1)の等号 $x = 1$ がすべての $i$ で必要 → $a_{1} = \dots = a_{n}$ 。