不等式の証明(微分)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 不等式の証明は「差をとって最小値 $\geqq 0$」に翻訳する。

$$g(x)=e^x-(1+x)$$

とおき、$x\geqq 0$ での $g$ の最小値が $0$ 以上だと言えばよい。

$g^{\prime }(x)=e^x-1$ は $x>0$ で正 — $g$ は $x\geqq 0$ で増加する。だから最小は左端 $x=0$ で、$g(0)=1-1=0$。増加関数の出発点が $0$ なら、その先はずっと $0$ 以上である。

① 差を関数とおく。 $g(x)=e^x-(1+x)=e^x-1-x$。

② 増減を調べる。 $g^{\prime }(x)=e^x-1$。$x\geqq 0$ では $e^x\geqq e^0=1$ なので

$$g^{\prime }(x)=e^x-1\geqq 0$$

よって $g$ は $x\geqq 0$ で増加(または一定)。

③ 最小値を確認する。 $x\geqq 0$ で $g$ は増加なので、最小は $x=0$。

$$g(0)=e^0-1-0=0$$

よって $x\geqq 0$ で $g(x)\geqq g(0)=0$、すなわち $e^x\geqq 1+x$。等号は $x=0$。

まとめ:不等式の証明は「差を関数にして最小値 $\geqq 0$」。$g^{\prime }=e^x-1\geqq 0$ から $g$ は増加、最小は左端 $g(0)=0$。$y=1+x$ は $e^x$ の $x=0$ での接線で、指数関数がつねに接線より上にある(下に凸)ことを示している。

発展 — 一歩先へ。 この不等式は「指数評価の母」だ。$x$ を $-x$ に替えれば $e^{-x}\geqq 1-x$、両辺を積み重ねて微分・積分を繰り返すと $e^x\geqq 1+x+\frac{x^2}{2}$($x\geqq 0$)とどこまでも精密化できる — 多項式の階段で $e^x$ を下から支えていく、この列の極限がテイラー展開(大学)である。

応用面では、$e^x\geqq 1+x$ から $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$ のはさみうちが作れるなど、極限の評価の部品としても働く。「証明した不等式は道具箱に入る」— 入試の大問が小問の不等式から始まるのは、この連鎖のためだ。

別解

$1+x$ の正体を知ると、この不等式は $1$ 枚の絵になる。

$y=1+x$ は、曲線 $y=e^x$ の $x=0$ における接線だ($e^0=1$ を通り、傾き $(e^x{)}^{\prime }{|}_{x=0}=1$)。

そして $y=e^x$ は $y^{\prime \prime }=e^x>0$ — どこでも下に凸の曲線。下に凸な曲線は、どの接線よりも上にある(接点でだけ触れる)。だから

$$e^x\geqq 1+x$$

は「曲線は接線の上」という凸性の一言で、しかも全実数で成り立つ($x\geqq 0$ という制限すら不要)。等号は接点 $x=0$ のみ。

微分の計算(本解)は、この絵を式で厳密に言い直したものだ。「差の増減」を追う代わりに「凸 $+$ 接線」と見る目を持つと、$\log x\leqq x-1$(上に凸は接線の下)や $\sin x\leqq x$ など、解析の頻出不等式が一枚の同じ絵に見えてくる。