原点から曲線に引いた接線

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「原点から引いた接線」は、接点が原点ではない(曲線上のどこか)。だから接点を文字 $t$ でおくのが出発点。

接点 $(t,\log t)$ での接線を作る。$y^{\prime }=\frac{1}{x}$ で傾きが $\frac{1}{t}$ と分かるので、接線が書ける。

その接線が原点 $(0,0)$ を通る、という条件で $t$ の方程式を立てる。

接点を最初から求めず、通過条件から逆算する、と見通す。

① 接線を作る。 接点を $(t,\log t)$ とする。$y^{\prime }=\frac{1}{x}$ より接点での傾きは $\frac{1}{t}$。接線は

$$y=\frac{1}{t}(x-t)+\log t$$

② 原点を通る条件。 $(x,y)=(0,0)$ を代入する。

$$0=\frac{1}{t}(0-t)+\log t=-1+\log t⟹\log t=1⟹t=e$$

③ 接線を求める。 $t=e$ を接線の式に入れると、傾き $\frac{1}{e}$、接点 $(e,\log e)=(e,1)$ を通り

$$y=\frac{1}{e}(x-e)+1=\frac{1}{e}x$$

まとめ:曲線外の点からの接線は「接点を $t$ でおく → 接線を作る → その点を通る条件で $t$」。$\log t=1$ から接点 $x=e$、接線 $y=\frac{1}{e}x$。接点を最初から求めようとせず、通過条件から逆算するのがコツ。

発展 — 一歩先へ。 この接線 $y=\frac{1}{e}x$ は、$y=\log x$ を「原点から見上げたときの限界の傾き」。$\log x$ は上に凸なので、原点を通る直線 $y=ax$ は、$a$ が接線の傾き $\frac{1}{e}$ より大きいと曲線と交わらない。

言いかえると、すべての $x>0$ で $\log x\le \frac{x}{e}$ が成り立ち、等号は接点 $x=e$ だけ。接線がつねに曲線の上にある(上に凸の性質)ことの現れだ。

この不等式 $e\log x\le x$、すなわち $x^e\le e^x$ は、$e^{\pi }$ と ${\pi }^e$ の大小などの土台になる。$1$ 本の接線から、有名な不等式が導ける。

別解

別解 — 傾きを $2$ 通りに表して等しくおく(得意な人向けの視点)。 接線を書き下さなくても、「同じ傾き」を $2$ 通りで表せば $t$ が出る。

接点を $(t,\log t)$ とする。接線の傾きは、微分から $\frac{1}{t}$。

一方この直線は原点 $(0,0)$ と接点 $(t,\log t)$ を通るので、その $2$ 点から傾きは $\frac{\log t-0}{t-0}=\frac{\log t}{t}$。

同じ直線の傾きだから等しい。

$$\frac{1}{t}=\frac{\log t}{t}⟹\log t=1⟹t=e.$$

接線を作って原点代入する本解と同じ $t=e$。接点の傾き(微分)と、原点・接点を結ぶ傾き($2$ 点)が一致する、という見方は、原点(や定点)から引く接線でいつでも使える近道だ。