媒介変数と速度(円運動)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 速さとは、速度ベクトル $\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)$ の大きさのことだ。

だから $x=\cos t$、$y=\sin t$ を各成分ごとに微分する。

その大きさを計算すると、時刻によらず一定になる。等速円運動だ。

平面運動の速さは、各成分の微分を並べたベクトルの大きさで求める。

① 各成分を微分する。

$$\frac{dx}{dt}=-\sin t,\frac{dy}{dt}=\cos t$$

② 速さ(大きさ)を計算する。

$$\text{速さ}=\sqrt{(-\sin t{)}^2+(\cos t{)}^2}=\sqrt{{\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t}=\sqrt{1}=1$$

まとめ:$x=\cos t$、$y=\sin t$ は単位円上の運動。速さが $t$ によらず一定 $1$ なので等速円運動。${\sin }^2+{\cos }^2=1$ のおかげで速さが定数になる。位置は円周上をぐるぐる回るが、速さ(スピード)は変わらない。

発展 — 一歩先へ。 半径と回る速さを一般にしてみる。$x=r\cos \omega t$、$y=r\sin \omega t$ は、半径 $r$ の円を角速度 $\omega$ で回る運動だ。

各成分を微分すると速度は $(-r\omega \sin \omega t,r\omega \cos \omega t)$ で、速さは $r\omega$。半径が大きいほど、また回転が速いほど、速さは増す。今の問題は $r=1$、$\omega =1$ だから速さ $1$ だった。

加速度は $(-r{\omega }^2\cos \omega t,-r{\omega }^2\sin \omega t)$、つまり位置ベクトルの $-{\omega }^2$ 倍。大きさ $r{\omega }^2$ で、向きはつねに中心を指す。これが円運動を保つ「向心加速度」だ。速度は円の接線方向(位置と直交)、加速度は中心向き、と役割が分かれている。

別解

別解 — 進んだ道のりから速さを読む(苦手な人向けの視覚ルート)。 成分を微分しなくても、円周上の運動として速さが読める。

点 $\mathrm{P}$ は原点中心・半径 $1$ の円周上にある($x^2+y^2={\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$)。時刻 $t$ での位置の角度(中心角)は、ちょうど $t$ ラジアンだ。

半径 $1$ の円で中心角 $t$ の弧の長さは $1\times t=t$。つまり時刻 $t$ までに $\mathrm{P}$ が進んだ道のりは $t$ そのものだ。

速さは「道のりが時刻とともに増える割合」だから、道のり $t$ を $t$ で微分して $1$。本解の $\sqrt{(-\sin t{)}^2+(\cos t{)}^2}=1$ と同じ速さ $1$。円周を一定のペースで回る等速円運動だと、絵で見て取れる。