曲線外の点から引いた接線

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $(0,-1)$ から $y=x^2$ へ接線を引く。

接点を $(t,t^2)$ とおくのが出発点だ。傾きが分かれば接線が書ける。

その接線が $(0,-1)$ を通る、という条件で $t$ を決める。

$t$ が $2$ 個出れば、接線は $2$ 本。数IIの曲線外接線と同じ、「接点を未知数において解く」定跡だ。

① 接点をおき、接線を作る。 接点 $(t,t^2)$、傾き $f^{\prime }(t)=2t$。

$$y=2t(x-t)+t^2=2tx-t^2$$

② $(0,-1)$ を通る条件を書く。

$$-1=2t\cdot 0-t^2=-t^2\Rightarrow t^2=1\Rightarrow t=\pm 1$$

③ 接線を書く。

$$t=1:y=2x-1,t=-1:y=-2x-1$$

まとめ:「曲線の外の点から接線」は、接点 $(t,f(t))$ を文字でおくのが決め手。通る条件で $t$ の方程式を作り、その解の個数が接線の本数。$(0,-1)$ からは $2$ 本引ける。数II でも数III でも共通の技だ。

発展 — 一歩先へ。 通す点を $y$ 軸上で動かして、$(0,c)$ からの接線を考える。接点 $(t,t^2)$ の接線 $y=2tx-t^2$ が $(0,c)$ を通る条件は $c=-t^2$、すなわち $t^2=-c$。

これが実数解 $t$ をもつのは $c\leqq 0$ のとき。$c<0$ なら $t=\pm \sqrt{-c}$ で接線は $2$ 本、$c=0$ なら $t=0$ で $1$ 本($x$ 軸)、$c>0$ なら $0$ 本。点が放物線の内側(上側)に入ると、接線が引けなくなる。

さらに、$2$ つの接点は $y$ 座標がどちらも $t^2=-c$ で等しい。だから $2$ 接点を結ぶ弦は水平線 $y=-c$ になる。今の $(0,-1)$ なら弦は $y=1$、接点は $(\pm 1,1)$。外の点の高さ $c$ が、接線の本数も接点の高さも決めている。

別解

別解 — 判別式で「接する」を直接つかむ(苦手な人向けの視点)。 微分をせずに、接線を「重解をもつ直線」として求める。

$(0,-1)$ を通る直線は、傾きを $m$ として $y=mx-1$ と書ける。これが $y=x^2$ と接するのは、$2$ 曲線がただ $1$ 点を共有するとき、つまり連立した $2$ 次方程式が重解をもつときだ。

$x^2=mx-1$、すなわち $x^2-mx+1=0$ の判別式を $0$ とおく。

$$m^2-4=0⟹m=\pm 2.$$

よって接線は $y=2x-1$ と $y=-2x-1$ で、本解と同じ答え。「接する $=$ 判別式 $0$($=$ 重解)」は、微分を使わずに接線を出せる数IIの見方だ。