最大・最小(x e^{-x})

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 区間が限られている($0\leqq x\leqq 2$)。ここが最大のポイントだ。

最大値の候補は、$2$ 種類ある。

• 区間の内側で、$y^{\prime }=0$ になる点(山の頂上)
• 区間の両端($x=0$ と $x=2$)

なぜ端が候補になるのか。

グラフが端で切られているからだ。 端では、そこから先へ行けない。だから、端の値が最大になることがある。

手順は $2$ 段階。

① 候補を全部出す。

$$y^{\prime }=(1-x)e^{-x}=0⟹x=1$$

$x=1$ は区間の内側にある ✓

② 候補の値を全部計算して、比べる。

$$f(0),f(1),f(2)$$

この $3$ つを比べるだけ。

「閉区間の最大最小 $=$ 極値の候補 $+$ 端点」 — 端を忘れないこと。これが唯一にして最大の注意点である。

① 候補を出す。 $y^{\prime }=(1-x)e^{-x}=0$ より $x=1$(区間 $[0,2]$ 内)。

② 候補と両端の値を計算する。

$$y(0)=0,y(1)=\frac{1}{e}\approx 0.37,y(2)=\frac{2}{e^2}\approx 0.27$$

③ 最大を選ぶ。 いちばん大きいのは $y(1)=\frac{1}{e}$。

$$\text{最大値}\frac{1}{e}(x=1)$$

まとめ:数III でも閉区間の最大最小は「$y^{\prime }=0$ の点 + 両端」をくらべる。$\frac{1}{e}\approx 0.37$ と $\frac{2}{e^2}\approx 0.27$ の大小は、$e\approx 2.7$ で概算すると比べられる。

発展 — 一歩先へ。 「閉区間なら、最大値と最小値が必ず存在する」— これは当たり前だろうか。

当たり前ではない。定理として保証されているのだ。

最大値・最小値の定理(ワイエルシュトラスの定理)。

「有界な閉区間 $[a,b]$ で連続な関数は、必ず最大値と最小値をもつ。」

この定理の、$2$ つの条件が効いている。

条件 $1$: 閉区間であること。

開区間だと、成り立たない。

$f(x)=x$ を、開区間 $0<x<1$ で考える。

最大値はあるか? $x$ を $1$ に近づければ、$f(x)$ は $1$ に近づく。だが $x=1$ は区間に入っていない。

$0.9$? もっと大きい $0.99$ がある。$0.999$? もっと大きいのがある。

最大値は存在しない。 いくらでも $1$ に近づけるが、決して到達しない。

端点が「入っている」ことが、決定的に重要なのだ。

条件 $2$: 連続であること。

不連続だと、成り立たない。

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& (0\leqq x<1)\\ 0& (x=1)\end{array}$$

閉区間 $[0,1]$ で定義されているが、$x=1$ で不連続。

最大値は? やはり存在しない。$1$ に近づくと値は $1$ に近づくが、$x=1$ では $0$ に落ちてしまう。

「連続」と「閉区間」の両方があって、初めて最大値が保証される。

なぜ、こんな当たり前のことを定理にするのか。

「存在する」ことと「求められる」ことは、別だからだ。

この定理は、最大値がどこにあるかは何も教えてくれない。 ただ「必ずある」と保証するだけ。

その保証があるからこそ、我々は安心して探せる。

「候補を全部調べれば、その中に必ず答えがある」

もし最大値が存在しないかもしれないなら、$f(0)$、$f(1)$、$f(2)$ を比べたところで、「これが最大とは限らない」ことになってしまう。

存在定理は、探索を正当化する。

そして、この定理は経済学・物理学の根幹を支えている。

• 経済: 効用を最大化する消費計画は「存在する」か
• 物理: 最小作用の原理 — 自然は作用を最小にする経路を選ぶ。その経路は「存在する」か
• 最適化: 機械学習の損失関数に、最小値は「存在する」か

「解が存在する」ことを証明してから、「解を求める」。

数学が厳密さにこだわる理由は、この順序を守るためなのだ。

別解

候補の値を、実際の数で並べて比べる。

「端点も候補」と言われても、ピンとこないかもしれない。 数字で確かめよう。

$3$ つの候補の値を、小数で出す。

$$f(0)=0\times e^0=0$$

$$f(1)=1\times e^{-1}=\frac{1}{e}\approx 0.368$$

$$f(2)=2\times e^{-2}=\frac{2}{e^2}\approx 0.271$$

並べる。

$$0<0.271<0.368$$

最大は $f(1)=\frac{1}{e}$ ✓ 最小は $f(0)=0$。

確かに、極大点が最大値になっている。

では、端点が最大になることは、本当にあるのか。

区間を変えてみよう。

区間 $2\leqq x\leqq 5$ で、同じ関数の最大値は?

この区間には、$y^{\prime }=0$ となる点($x=1$)が含まれていない。

$$f(2)\approx 0.271,f(3)\approx 0.149,f(5)\approx 0.034$$

区間全体で、減少し続けている。

最大値は、左端の $f(2)\approx 0.271$。

極大点は、区間の外にある。 端点が最大値になった。

もう $1$ つ。区間 $0\leqq x\leqq 0.5$ なら?

$$f(0)=0,f(0.5)\approx 0.303$$

この区間では、ずっと増加している。 最大値は右端の $f(0.5)$。

$3$ つのパターンが出そろった。

• 区間内に頂上がある → 頂上が最大
• 頂上が区間の左外 → 左端が最大(区間内は減少)
• 頂上が区間の右外 → 右端が最大(区間内は増加)

「$y^{\prime }=0$ を解いて終わり」ではない理由が、これで分かる。

その点が区間に入っているか、入っていなければ増減はどうか — そこまで見て、初めて答えが出る。

実用的な手順を、まとめておこう。

① $y^{\prime }=0$ を解く

② 解が区間内にあるか確認する(外なら候補から外す)

③ 区間内の解と、両端の値を、すべて計算する

④ 数値を並べて、いちばん大きいものを選ぶ

この $4$ ステップを機械的に踏めば、閉区間の最大最小で間違えることはない。

「増減表を書いて、端の値も表に入れる」 — 増減表の左端と右端に、区間の端点の値を書き込む習慣をつけたい。