最大・最小(三角関数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 極値の候補は $y^{\prime }=0$ から。

$$y^{\prime }=1-2\cos x=0⟺\cos x=\frac{1}{2}$$

$0\leqq x\leqq 2\pi$ でこの方程式を解くと $x=\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$。

あとは各点の前後で $y^{\prime }$ の符号($\cos x$ と $\frac{1}{2}$ の大小)がどう変わるかを見る。三角関数入りの増減は、「$y^{\prime }=0$ を三角方程式として解く → 符号は単位円で読む」の二段だ。

① $y^{\prime }=0$ を解く。 $y^{\prime }=1-2\cos x$。

$$1-2\cos x=0\Rightarrow \cos x=\frac{1}{2}$$

$0\leqq x\leqq 2\pi$ での解は $x=\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$。

② 符号を調べる。 $y^{\prime }=1-2\cos x$ は、$\cos x>\frac{1}{2}$($x$ が $0$ や $2\pi$ の近く)で負、$\cos x<\frac{1}{2}$(中央付近)で正。

• $x=\frac{\pi }{3}$:負→正 で極小。
• $x=\frac{5\pi }{3}$:正→負 で極大。

まとめ:三角関数を含む関数も、$y^{\prime }=0$ を三角方程式として解く。$\cos x=\frac{1}{2}$ の解を範囲内で $2$ つ拾い、$y^{\prime }$ の符号で極大・極小を判定する。$y=x-2\sin x$ は全体として増加傾向だが、途中で波打つ。

発展 — 一歩先へ。 $y=x-2\sin x$ は「直進(傾き $1$)と振動($-2\sin x$)の合成」。振動の振幅の傾き成分 $2\cos x$ が直進の $1$ を上回る区間でだけ、逆走(減少)が起きる — 係数 $2$ を $\frac{1}{2}$ に変えた $y=x-\frac{1}{2}\sin x$ では $y^{\prime }=1-\frac{1}{2}\cos x>0$ で極値が消える。「振動項の係数が $1$ を超えるか」が、この形の関数の増減の分かれ目だ。

サイクロイド(転がる車輪の点の軌跡)の $x$ 成分がまさに $t-\sin t$ 型 — 車輪の接地点近くで一瞬後ろに戻る、あの動きが今回の「逆走区間」の実物である。

別解

$y^{\prime }$ の符号の変化を、単位円の上で一周して読むと、増減表が絵になる。

$y^{\prime }=1-2\cos x$ の符号は「$\cos x$ が $\frac{1}{2}$ より大きいか小さいか」で決まる。単位円で $\cos x=\frac{1}{2}$ となるのは、$x$ 座標が $\frac{1}{2}$ の $2$ 点 — 角度 $\frac{\pi }{3}$ と $\frac{5\pi }{3}$ だ。

円周を一周しながら $x$ 座標(横の位置)を追うと

• $0$ から $\frac{\pi }{3}$: 円周の右寄りで $\cos x>\frac{1}{2}$ — $y^{\prime }<0$(減少)
• $\frac{\pi }{3}$ から $\frac{5\pi }{3}$: 左半分を回り $\cos x<\frac{1}{2}$ — $y^{\prime }>0$(増加)
• $\frac{5\pi }{3}$ から $2\pi$: 再び右寄りで $y^{\prime }<0$(減少)

減 $\to$ 増の切り替わる $\frac{\pi }{3}$ が極小、増 $\to$ 減の $\frac{5\pi }{3}$ が極大。

「$\cos$ の不等式は、単位円の縦線 $x=\frac{1}{2}$ の左右で領域を分ける」— 数IIの三角不等式の技術が、そのまま数IIIの増減表の部品になっている。