数学III / 微分法の応用

漸化式で定まる数列の漸近(数列と極限の融合)

実戦編漸化式極限数列はさみうち単元横断

問題

数列 ${a_{n}}$ を $a_{1} = 1, a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{a _{n}}$ ( $n \geq 1$ )で定める。 $n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n}$ を求めよ。

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$a_{n}$ の漸化式は追いにくい。 $2$ 乗して $a_{n + 1}^{2}$ を $a_{n}^{2}$ で表すと、増分がほぼ一定(約 $2$ )になる。 $a_{n}^{2}$ が約 $2 n$ と読めるか。

解答・解説

方針

$a_{n}$ そのものより $b_{n} = a_{n}^{2}$ の漸化式を作る。 $b_{n + 1} = b_{n} + 2 + \frac{1}{b _{n}}$ から $b_{n}$ が約 $2 n$ で増えることをはさみうちで評価する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{a _{n}}$ は $a_{n}$ のままでは扱いにくい。だが $2$ 乗してみると $a_{n + 1}^{2} = (a_{n} + \frac{1}{a _{n}})^{2} = a_{n}^{2} + 2 + \frac{1}{a _{n}^{2}}$ となり、 $b_{n} = a_{n}^{2}$ の増分が「 $2$ + 小さいおまけ」とほぼ一定になる。増分がほぼ $2$ なら $b_{n}$ はほぼ $2 n$ で増える — つまり $a_{n}^{2} \approx 2 n$ 、 $\frac{a _{n}}{n} \to 2$ と当たりがつく。あとは“おまけ” $\frac{1}{a _{n}^{2}}$ が効かないこと(和が $n$ に比べ小さい)をはさみうちで詰める。

① $2$ 乗して増分を見る。 $b_{n} = a_{n}^{2}$ とおくと $b_{n + 1} = b_{n} + 2 + \frac{1}{b _{n}}, b_{1} = 1.$ $a_{n}$ は正で増加するから $b_{n}$ も増加し、特に $b_{n} \geq b_{1} = 1$ 。

② 下と上からはさむ。 上の漸化式を $k = 1$ から $n - 1$ まで足すと $b_{n} = b_{1} + 2 (n - 1) + k = 1 \sum n - 1 \frac{1}{b _{k}} = 2 n - 1 + k = 1 \sum n - 1 \frac{1}{b _{k}} .$ 増分が $2$ 以上だから $b_{k} \geq 2 k - 1$ 、ゆえに $\frac{1}{b _{k}} \leq \frac{1}{2 k - 1}$ 。したがって $2 n - 1 \leq b_{n} \leq 2 n - 1 + k = 1 \sum n - 1 \frac{1}{2 k - 1} .$ 右の和は $lo g$ 程度でしか増えないので、 $n$ で割ると $0$ に向かう。

重要

\frac{2 n - 1}{n} \leq \frac{b _{n}}{n} \leq \frac{2 n - 1}{n} + \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{1}{2 k - 1}

で、両端とも

\to 2

③ はさみうちで極限。 $\frac{b _{n}}{n} = \frac{a _{n}^{2}}{n} \to 2$ 。 $a_{n} > 0$ だから $\frac{a _{n}}{n} = \frac{a _{n}^{2}}{n} \to 2 .$

まとめ 追いにくい漸化式は $a_{n}^{2}$ を見ると増分がほぼ一定になる、という視点が急所。 $a_{n}^{2} \approx 2 n$ を上下からはさんで確定させる。漸化式・極限・はさみうちの融合で、答えは $2$ 。

発展 — 一歩先へ。 より精密には $b_{n} = a_{n}^{2} \approx 2 n + \frac{1}{2} lo g n$ で、第2項の $lo g n$ がゆっくり効く。だから $a_{n} \approx 2 n$ に、 $n$ 程度の小さな補正が乗る。「 $a_{n}^{2}$ が線形に増える」タイプの漸化式( $a_{n + 1} = a_{n} + \frac{c}{a _{n}}$ )は、 $\frac{a _{n}}{n} \to 2 c$ が一般に成り立つ。

答

$b_{n} = a_{n}^{2}$ の漸化式 $b_{n + 1} = b_{n} + 2 + \frac{1}{b _{n}}$ から $b_{n} \approx 2 n$ 。よって $\frac{a _{n}}{n} \to 2$ 。

別解

別解 — $b_{n} = a_{n}^{2}$ をはさみうちで $2 n$ に押さえる(苦手な人にも追えるルート)。 $b_{n} = a_{n}^{2}$ とおくと、漸化式は $b_{n + 1} = b_{n} + 2 + \frac{1}{b _{n}}$ 。 $1$ 進むごとに $b_{n}$ は「 $2$ より少し多く」増える。

まず下から。 $b_{n + 1} > b_{n} + 2$ を $n$ 回足すと $b_{n} > b_{1} + 2 (n - 1) = 2 n - 1$ 。とくに $b_{n} > 2 n - 1$ なので、増分 $\frac{1}{b _{n}} < \frac{1}{2 n - 1}$ 。

次に上から。 $b_{n + 1} = b_{n} + 2 + \frac{1}{b _{n}} < b_{n} + 2 + \frac{1}{2 n - 1}$ を足し上げると、 $b_{n} < 2 n + (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \dots)$ 程度。余分な和は $lo g n$ の速さでしか増えないから、 $b_{n}$ は $2 n$ とほぼ同じ。

はさむと $\frac{b _{n}}{2 n} \to 1$ 、すなわち $\frac{a _{n}}{n} = \frac{b _{n}}{n} \to 2$ 。「 $a_{n}$ でなく $a_{n}^{2}$ を見る」と、 $\frac{1}{a _{n}}$ の項が $\frac{1}{b _{n}}$ という無視できる大きさに落ち、線形な増え方( $b_{n} \approx 2 n$ )が見えてくる。

ポイント

$a_{n}$ が追いにくいときは $b_{n} = a_{n}^{2}$ の漸化式を作る。
$b_{n + 1} = b_{n} + 2 + \frac{1}{b _{n}}$ の増分がほぼ $2$ なので $b_{n} \approx 2 n$ 。
和 $\sum \frac{1}{b _{k}}$ を上から評価し、はさみうちで $\frac{a _{n}^{2}}{n} \to 2$ 。

よくある間違い

$a_{n}$ そのものの漸化式を追おうとして、非線形( $+ \frac{1}{a _{n}}$ )で行き詰まる( $b_{n} = a_{n}^{2}$ が突破口)。
$b_{n + 1} = b_{n} + 2 + \frac{1}{b _{n}}$ の $+ 2$ ( $2 \cdot a_{n} \cdot \frac{1}{a _{n}}$ )を落とす。
$\frac{1}{b _{n}}$ の累積を無視できると即断する(はさみうちで $lo g n$ 程度= $2 n$ に対し無視できる、と示す)。