最大の面積(文章題)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 周が一定の長方形で、面積を最大にしたい。

縦を $x$ とおくと、周の条件から横は $24-x$ に決まる。

すると面積は $S=x(24-x)$。$1$ 文字だけの式になった。

あとはこれを微分(または平方完成)で最大化する。$2$ 変数を $1$ つに減らすのが、数Iから続く最適化の発想だ。

① 面積を $x$ で表す。 縦を $x$ とすると、周 $48$ より横は $\frac{48-2x}{2}=24-x$。

$$S=x(24-x)=24x-x^2(0<x<24)$$

② 微分して最大を求める。

$$S^{\prime }=24-2x=0\Rightarrow x=12$$

$x=12$ の前後で $S^{\prime }$ は正→負 なので、$x=12$ で最大。

$$S(12)=12\times (24-12)=12\times 12=144$$

このとき縦 $12$、横 $12$ の正方形。

まとめ:「周が一定で面積最大」は正方形になる、という有名な結果。文章題は「量を $1$ 文字で表す → 変域を書く → 微分」。$S=x(24-x)$ は放物線で、頂点 $x=12$ が最大。数II の微分でも解けるが、数III の文章題の基本形でもある。

発展 — 一歩先へ。 「周が一定で面積最大」の裏返しも正方形になる。面積を一定 $A$ に固定して周を最小にすると、縦 $x$・横 $\frac{A}{x}$ の周は $2\left(x+\frac{A}{x}\right)$。これは $x=\sqrt{A}$、つまり正方形のときに最小だ。

「周一定で面積最大」も「面積一定で周最小」も、答えは同じ正方形。得(面積)を増やすことと損(周)を減らすことが、同じ形で実現する。これは長方形版の等周問題だ。

周を $L$ に決めたときの最大面積は、辺 $\frac{L}{4}$ の正方形で ${\left(\frac{L}{4}\right)}^2=\frac{L^2}{16}$。$L=48$ なら $\frac{48^2}{16}=144$ と、公式からも確かめられる。さらに辺の数を増やして正多角形、極限として円まで進むと、同じ周でより大きな面積が囲める。等周問題の入り口だ。

別解

別解 — 相加平均・相乗平均で一発(得意な人向けの視点)。 微分をせずに、$2$ 数の和が一定なら積は等しいとき最大、という関係で片づく。

縦を $x$、横を $24-x$ とすると、和は $x+(24-x)=24$ でつねに一定。面積はこの $2$ 数の積 $x(24-x)$ だ。

相加平均・相乗平均の関係より

$$\sqrt{x(24-x)}\leqq \frac{x+(24-x)}{2}=12,$$

両辺を $2$ 乗して $x(24-x)\leqq 144$。等号は $x=24-x$、すなわち $x=12$ のとき。

だから面積の最大は $144$ で、縦横 $12$ の正方形。微分で $S^{\prime }=0$ を解く本解と同じ答え。「和が一定なら積は $2$ 数がそろったとき最大」という相加相乗の見方は、最大最小の暗算に強い。