指数関数・対数関数 — 指数法則・対数計算・常用対数

次の値を求めよ。

(1) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}$

(2) $2^0\times 2^{-2}$

(3) $\frac{3^5}{3^2}$

次の値を求めよ。

(1) $8^{\frac{2}{3}}$

(2) $\sqrt[3]{16}\times \sqrt[3]{4}$

(3) $16^{-\frac{1}{4}}$

関数 $y=2^x$ について、定義域と値域を答えよ。また、増加関数か減少関数かを答えよ。

$1$、$\sqrt{2}$、$\sqrt[3]{4}$ を小さい順に並べよ。

次の方程式を解け。

(1) $2^x=32$

(2) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x=27$

次の不等式を解け。

(1) $2^x>32$

(2) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 27$

次の値を求めよ。

(1) ${\log }_{2}8$

(2) ${\log }_3\frac{1}{9}$

(3) ${\log }_{10}1$

${\log }_{2}3+{\log }_{2}6-{\log }_{2}9$ の値を求めよ。

${\log }_{4}8$ の値を求めよ。

関数 $y={\log }_{2}x$ について、定義域を答えよ。また、増加関数か減少関数かを答えよ。

方程式 ${\log }_2(x-1)=3$ を解け。

$3^{20}$ は何桁の数か。ただし ${\log }_{10}3=0.4771$ とする。

$\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{2}$ を簡単にせよ。

$\sqrt{2}$、$\sqrt[3]{3}$、$\sqrt[6]{10}$ を小さい順に並べよ。

方程式 $4^x-3\cdot 2^x-4=0$ を解け。

不等式 $4^x-5\cdot 2^x+4\leqq 0$ を解け。

$-1\leqq x\leqq 2$ のとき、$y=4^x-2^{x+1}+3$ の最大値と最小値を求めよ。

${\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}8$ の値を求めよ。

方程式 ${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3$ を解け。

不等式 ${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)>-2$ を解け。

$1\leqq x\leqq 8$ のとき、$y=({\log }_{2}x{)}^2-{\log }_2{x}^2+3$ の最大値と最小値を求めよ。

$12^{10}$ は何桁の数か。ただし ${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ とする。

${\left(\frac{1}{3}\right)}^{10}$ を小数で表すと、小数第何位に初めて $0$ でない数字が現れるか。ただし ${\log }_{10}3=0.4771$ とする。

ある細菌は $1$ 時間ごとに個数が $2$ 倍になる。個数が最初の $1000$ 倍を超えるのは何時間後か。ただし ${\log }_{10}2=0.3010$ とする。

$2^x+2^{-x}=3$ のとき、次の値を求めよ。

(1) $4^x+4^{-x}$

(2) $8^x+8^{-x}$

${\log }_{2}3$ と ${\log }_{3}5$ の大小を比べよ。

$0\leqq x\leqq 3$ のとき、$y=4^x-2^{x+2}+5$ の最大値と最小値を求めよ。

${\log }_{2}3+{\log }_{4}9+{\log }_{8}27$ の値を、${\log }_{2}3$ を用いて表せ。

$6^{20}$ について、桁数と最高位の数字を求めよ。ただし ${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ とする。

ある放射性物質は $5$ 年ごとに量が半分になる。量が最初の $\frac{1}{100}$ 以下になるのは、最短で何年後か。ただし ${\log }_{10}2=0.3010$ とする。

方程式 $2{\log }_2(x-1)={\log }_2(x+1)+1$ を解け。

$\frac{1}{2}\leqq x\leqq 8$ のとき、$y=({\log }_{2}x{)}^2-2{\log }_{2}x-2$ の最大値と最小値を求めよ。

連立方程式 $\{\begin{array}{l}{2}^x+2^y=6\\ 2^{x+y}=8\end{array}$ を解け。

方程式 ${\log }_{2}x+{\log }_{x}2=\frac{5}{2}$ を解け(ただし $x>0,x\ne 1$)。

不等式 ${\log }_3(x-2)+{\log }_3(x-4)<1$ を解け。

$12^{20}$ は何桁の整数か。また、その最高位の数字を求めよ。ただし ${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ とする。

関数 $y=4^x-2^{x+2}+5$ の最小値を求めよ。

$3^n>10^{100}$ を満たす最小の整数 $n$ を求めよ。ただし ${\log }_{10}3=0.4771$ とする。

${\log }_{2}3=a$、${\log }_{3}5=b$ とするとき、${\log }_{15}20$ を $a,b$ を用いて表せ。

$2^{100}$、$3^{60}$、$5^{40}$ を大きい順に並べよ。ただし ${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ とする。

${\log }_{10}2=0.3010$ とする。$2^{1000}$ は何桁の整数か求めよ。

不等式 $4^x-3\cdot 2^{x+1}+8\le 0$ を解け。

${\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}4\cdot {\log }_{4}5\cdots {\log }_{31}32$ の値を求めよ(各因数は ${\log }_k(k+1)$、$k=2,3,\dots ,31$)。

$2^x+2^{-x}=3$ のとき、$8^x+8^{-x}$ の値を求めよ。

$1\le x\le 8$ のとき、$y=({\log }_{2}x{)}^2-2{\log }_{2}x$ の最大値と最小値を求めよ。

${\log }_{10}2=0.3010,{\log }_{10}3=0.4771$ とする。$3$ つの数 $3^{44},4^{33},5^{22}$ を大きい順に並べよ。

${\log }_{10}3=0.4771$ とする。$0.9^n<0.01$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めよ。

方程式 $x^{{\log }_{10}x}=1000x^2$ を解け(ただし $x>0$)。

$n$ を自然数とする。$2^n$ の桁数を $p$、$5^n$ の桁数を $q$ とするとき、$p+q$ を $n$ を用いて表せ。

$a$ を実数の定数とする。方程式 $4^x-a\cdot 2^x+a=0$ が異なる $2$ つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

$7^{100}$ を $100$ で割った余りを求めよ。

正の実数 $x,y,z$ が $2^x=3^y=6^z$ を満たすとき、$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$ が成り立つことを示せ。

$n$ を自然数とする。$\sum _{k=1}^n{\log }_2\left(1+\frac{1}{k}\right)$ を求めよ。

$a>1,b>1$ が $ab=100$ を満たすとき、${\log }_{10}a\cdot {\log }_{10}b$ の最大値を求めよ。

曲線 $y=2^x$ と直線 $y=x+1$ は、相異なる $2$ 点で交わることを示せ。

$n\ge 2$ を自然数とする。$\sum _{k=2}^n\frac{1}{{\log }_k(n!)}$ の値を求めよ。ただし $n!=1\cdot 2\cdots n$ とする。