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数学II

指数関数・対数関数 指数法則・対数計算・常用対数

指数の拡張と指数関数、対数の定義と性質、対数関数、常用対数の応用を扱います。

全 56 問(★基礎 12・★★標準 12・★★★応用 8・★★★★難関 8・実戦編 8・最難関編 8)

★ 基礎の問題12問

教科書レベル。定義・公式の確認と基本操作

  1. 指数法則(0・負の指数)
  2. 有理数の指数と累乗根
  3. 指数関数のグラフ
  4. 指数の大小比較
  5. 指数方程式(基本)
  6. 指数不等式(基本)
  7. 対数の定義
  8. 対数の性質
  9. 底の変換
  10. 対数関数のグラフ
  11. 対数方程式(基本)
  12. 常用対数と桁数

★★ 標準の問題12問

定期テストレベル。典型パターンの運用

  1. 累乗根の計算
  2. 累乗根の大小比較
  3. 指数方程式(置き換え)
  4. 指数不等式(置き換え)
  5. 指数関数の最大・最小(置き換え)
  6. 対数の計算(底の変換)
  7. 対数方程式(真数条件)
  8. 対数不等式(底が1より小)
  9. 対数関数の最大・最小(置き換え)
  10. 常用対数と桁数
  11. 小数首位(0が続く個数)
  12. 常用対数の文章題(倍増)

★★★ 応用の問題8問

入試標準レベル。複数の考え方を組み合わせる

  1. 指数の対称式
  2. 対数の大小比較(はさみこみ)
  3. 指数関数の最大・最小(範囲つき)
  4. 底のちがう対数の和
  5. 桁数と最高位の数字
  6. 常用対数の文章題(半減期)
  7. 対数方程式(係数と真数条件)
  8. 対数関数の最大・最小(両端が最大)

★★★★ 難関の問題8問

旧帝大・早慶レベル。一部の単元に用意した挑戦枠

  1. 連立した指数方程式
  2. 底が逆数の対数を含む方程式
  3. 対数不等式(真数条件つき)
  4. 累乗の桁数と最高位の数字
  5. 指数関数の最小値(置き換え)
  6. 指数不等式を満たす最小の整数
  7. 対数を文字で表す(底の変換)
  8. 累乗の大小比較

実戦編の問題8問

難関大の総合問題。複数の単元を融合した単元横断の演習

  1. 2の1000乗の桁数(常用対数)
  2. 指数不等式(2^x の置換で2次)
  3. 底の変換の連鎖(積が望遠鏡)
  4. 対称式(2^x+2^{−x} から 8^x+8^{−x})
  5. 対数の置換による最大・最小
  6. 指数の大小比較(対数をとる)
  7. 指数不等式を満たす最小の自然数(常用対数)
  8. 対数方程式(両辺の対数をとる)

最難関編の問題8問

東大・京大の最難関レベル。気づきにくい発想や、何段階もの議論が必要な問題

  1. 2ⁿ と 5ⁿ の桁数の和
  2. 指数方程式が異なる2解をもつ条件
  3. 7の累乗を100で割った余り
  4. 指数が等しいときの逆数の関係
  5. 対数の和(望遠鏡)
  6. 常用対数の積の最大値
  7. 指数関数のグラフと直線の共有点
  8. 底の変換と対数の和(=1)

指数関数・対数関数の解説(つまずきやすい点と学習の順序)