数学II / 指数関数・対数関数

対数の計算(底の変換)

★★ 標準対数の性質底の変換

問題

$lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 8$ の値を求めよ。

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底がそろっていないのが障害。どちらかの底にそろえる変換をすると、かけ算の中で打ち消し合いが起きる — 何が約分されるか。

解答・解説

底がそろっていないので、片方を底の変換で $2$ にそろえる。 $lo g_{3} 8$ を底 $2$ に直すと $lo g_{2} 3$ が約分で消える。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 底が $2$ と $3$ でばらばらだ。かけ算のままでは進めない。

底の変換公式で、どちらかにそろえる。 $lo g_{3} 8 = \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 3}$ 。

すると積は $lo g_{2} 3 \times \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 3}$ となり、 $lo g_{2} 3$ が約分で消える。残るのは $lo g_{2} 8 = 3$ 。「そろえて約分」が底ちがいの積の定石だ。

公式底の変換

lo g_{3} 8 = \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 3}

① 底を $2$ にそろえる。 $lo g_{3} 8$ を底 $2$ に直す。

$lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 8 = lo g_{2} 3 \cdot \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 3}$

② 約分する。 $lo g_{2} 3$ が上下で消える。

$= lo g_{2} 8 = 3$

まとめ: $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c$ の形は、底をそろえると必ず約分が起きて $lo g_{a} c$ になる。ここでは $lo g_{2} 8 = 3$ 。

発展 — 一歩先へ。 連鎖の特別な場合 $lo g_{a} b \times lo g_{b} a = 1$ 、つまり $lo g_{b} a = \frac{1}{lo g _{a} b}$ (逆数の関係)も頻出だ。底と真数をひっくり返すと逆数になる。

底の変換公式の由来は、指数の言葉に戻ると見える。 $b^{y} = c$ の両辺で底 $a$ の対数をとると $y lo g_{a} b = lo g_{a} c$ — 割り算1回分が公式の正体である。公式群はどれも「指数法則の対数への翻訳」だ。

答

$3$

この約分は、実は一般法則になっている。「対数の連鎖」だ。

$lo g_{a} b \times lo g_{b} c = lo g_{a} c$

途中の $b$ が、乗り継ぎ駅のように消える( $a$ から $b$ へ、 $b$ から $c$ へ行けば、結局 $a$ から $c$ だ)。底の変換で書き直せば、約分そのものである。

今回は $a = 2$ 、 $b = 3$ 、 $c = 8$ で

$lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 8 = lo g_{2} 8 = 3$

一撃で着く。この連鎖の目を持っていると、 $lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 4 \times lo g_{4} 5 \times \dots$ のような長い積も、乗り継ぎで最初と最後だけ残ると即読みできる。「対数の積を見たら乗り継ぎを疑う」を道具箱に入れておこう。

底の変換公式の分子・分母を逆にする
$lo g_{2} 8$ を $4$ とする( $2^{3} = 8$ なので $3$ )
対数の積 $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 8$ を $lo g_{2} 24$ など和の法則と混同する(積をまとめる法則はない。連鎖は特別な形)