数学II / 指数関数・対数関数

対数不等式(真数条件つき)

★★★★ 難関対数不等式真数条件

問題

不等式 $lo g_{3} (x - 2) + lo g_{3} (x - 4) < 1$ を解け。

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対数の不等式は、まず真数が正である条件を押さえる。左辺を $1$ つの対数にまとめ、 $1 = lo g_{3} 3$ と比べる。底が $1$ より大きいので不等号の向きはそのまま。最後に真数条件との共通範囲。

解答・解説

まず真数条件 $x - 2 > 0$ かつ $x - 4 > 0$ から $x > 4$ 。左辺を $lo g_{3} {(x - 2) (x - 4)}$ にまとめ、 $1 = lo g_{3} 3$ と比べる。底 $3 > 1$ だから真数の大小がそのまま。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 対数の不等式。まず気をつけるのは真数条件。 $lo g$ の中身は正でなければならない。

$x - 2 > 0$ かつ $x - 4 > 0$ から $x > 4$ 。この条件を最初に確保する。ここを飛ばすと答えを間違える。

次に左辺を $lo g_{3} {(x - 2) (x - 4)}$ と $1$ つにまとめる。右辺は $1 = lo g_{3} 3$ 。

底 $3 > 1$ だから、 $lo g$ の大小は真数の大小と同じ向き。真数どうしを比べればよい。

重要対数不等式は ①真数条件(

lo g

の中身

> 0

)を先に ②底

> 1

なら真数の大小がそのまま

① 真数条件。 $x - 2 > 0$ かつ $x - 4 > 0$ より $x > 4$ 。

② $1$ つにまとめて比べる。 左辺 $= lo g_{3} {(x - 2) (x - 4)}$ 、右辺 $1 = lo g_{3} 3$ 。底 $3 > 1$ だから

$(x - 2) (x - 4) < 3$

③ $2$ 次不等式を解く。 $x^{2} - 6 x + 8 < 3$ 、すなわち $x^{2} - 6 x + 5 < 0$ 、 $(x - 1) (x - 5) < 0$ より $1 < x < 5$ 。

④ 共通範囲。 真数条件 $x > 4$ と合わせて

$4 < x < 5$

まとめ:対数不等式は「真数条件 → まとめて比較 → 共通範囲」。真数条件 $x > 4$ を先に押さえないと、 $1 < x < 5$ をそのまま答える誤りに陥る。底 $3 > 1$ なので不等号はそのまま(底が $1$ 未満なら反転)。

発展 — 一歩先へ。 対数不等式は「真数条件 → 底で向きを判断 → 真数の不等式」の三段が鉄則。底 $a$ が $0 < a < 1$ なら $lo g$ は減少関数で、真数の不等号が逆転する。底が $1$ をまたぐかどうかで結論が反対になるので、底のチェックが命だ。

答

$4 < x < 5$

別解 — 数直線で「 $2$ つの条件の重なり」を見る(苦手な人向けの視覚ルート)。 この問題は $2$ つの条件を同時に満たす $x$ を探す。数直線で重ね合わせると分かりやすい。

条件 $1$ (真数条件): $lo g$ の中身が正。 $x - 2 > 0$ かつ $x - 4 > 0$ 、厳しいほうを取って $x > 4$ 。

条件 $2$ (不等式本体): $(x - 2) (x - 4) < 3$ を展開すると $x^{2} - 6 x + 5 < 0$ 、因数分解して $(x - 1) (x - 5) < 0$ 、すなわち $1 < x < 5$ 。

数直線に $x > 4$ と $1 < x < 5$ を並べ、両方が重なる部分を読む。重なりは $4 < x < 5$ 。

左辺をまとめて $lo g_{3} 3$ と比べる本解と同じ。真数条件( $x > 4$ )を先に数直線に置いておくと、うっかり $1 < x \leq 4$ を答えに含める事故を防げる。