数学II / 指数関数・対数関数

対数を文字で表す(底の変換)

★★★★ 難関底の変換対数の値

問題

$lo g_{2} 3 = a$ 、 $lo g_{3} 5 = b$ とするとき、 $lo g_{15} 20$ を $a, b$ を用いて表せ。

ヒントを見る

底の変換で底を $2$ にそろえる。 $20, 15$ を素因数分解し、 $lo g_{2} 3 = a$ と $lo g_{2} 5$ で表す。 $lo g_{2} 5$ は $lo g_{2} 3$ と $lo g_{3} 5$ の積で出る。

解答・解説

方針

底を $2$ にそろえる。 $lo g_{15} 20 = \frac{lo g _{2} 20}{lo g _{2} 15}$ 。 $20 = 2^{2} \cdot 5$ 、 $15 = 3 \cdot 5$ と分解し、 $lo g_{2} 5 = lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 5 = ab$ を使って $a, b$ で表す。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $lo g_{2} 3 = a$ 、 $lo g_{3} 5 = b$ で $lo g_{15} 20$ を表す。底がバラバラ( $2, 3, 15$ )なのが難しさ。

方針は「底を $1$ つにそろえる」。ここでは $a$ が底 $2$ の対数なので、底を $2$ に統一する。

$lo g_{15} 20 = \frac{lo g _{2} 20}{lo g _{2} 15}$ 。あとは $20 = 2^{2} \cdot 5$ 、 $15 = 3 \cdot 5$ と素因数分解する。

$lo g_{2} 5$ は直接は与えられていないが、 $lo g_{2} 5 = lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 5 = ab$ (底の変換の連鎖)で作れる。

公式底の変換

lo g_{15} 20 = \frac{lo g _{2} 20}{lo g _{2} 15}

。連鎖

lo g_{2} 5 = lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 5 = ab

① 底を $2$ にそろえる。

$lo g_{15} 20 = \frac{lo g _{2} 20}{lo g _{2} 15}$

② 素因数分解する。 $20 = 2^{2} \cdot 5$ 、 $15 = 3 \cdot 5$ だから

$lo g_{2} 20 = lo g_{2} (2^{2} \cdot 5) = 2 + lo g_{2} 5, lo g_{2} 15 = lo g_{2} (3 \cdot 5) = lo g_{2} 3 + lo g_{2} 5$

③ $lo g_{2} 5$ を $a, b$ で。 $lo g_{2} 5 = lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 5 = ab$ 。また $lo g_{2} 3 = a$ 。よって

$lo g_{2} 20 = 2 + ab, lo g_{2} 15 = a + ab = a (1 + b)$

④ まとめる。

$lo g_{15} 20 = \frac{2 + ab}{a ( 1 + b )}$

まとめ:対数を文字で表すのは「共通の底にそろえて素因数分解」。底 $2$ にそろえ、 $20 = 2^{2} \cdot 5$ 、 $15 = 3 \cdot 5$ を使う。 $lo g_{2} 5 = lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 5 = ab$ という連鎖(底の変換)がつなぎ目になる。

発展 — 一歩先へ。 $lo g_{2} 5 = lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 5$ は、底の変換公式 $lo g_{a} c = lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c$ 。 $2 \to 3 \to 5$ と橋を架けるように対数を連結できる。どんな底の対数も、 $1$ つの共通の底(自然対数など)に集約すれば四則で扱える、という自由度の高さがこの公式の効き目だ。

答

$lo g_{15} 20 = \frac{2 + ab}{a ( 1 + b )}$

別解

別解 — 底を $3$ にそろえる(別ルートで同じ答え)。 $a = lo g_{2} 3$ は底 $2$ 、 $b = lo g_{3} 5$ は底 $3$ 。本解は底 $2$ に統一したが、底 $3$ に統一しても解ける。

$lo g_{15} 20 = \frac{lo g _{3} 20}{lo g _{3} 15} .$

$lo g_{3} 20 = lo g_{3} (2^{2} \cdot 5) = 2 lo g_{3} 2 + lo g_{3} 5$ 。ここで $lo g_{3} 2 = \frac{1}{lo g _{2} 3} = \frac{1}{a}$ だから $lo g_{3} 20 = \frac{2}{a} + b$ 。

$lo g_{3} 15 = lo g_{3} (3 \cdot 5) = 1 + lo g_{3} 5 = 1 + b$ 。よって

$lo g_{15} 20 = \frac{\frac{2}{a} + b}{1 + b} = \frac{2 + ab}{a ( 1 + b )} .$

底 $2$ で $lo g_{2} 5 = ab$ を使う本解と同じ式。どの底にそろえても答えは一致する。 $b = lo g_{3} 5$ が底 $3$ の対数なので、底 $3$ にそろえると $b$ がそのまま出て少し自然だ。

ポイント

底の変換で $lo g_{15} 20 = \frac{l o g _{2} 20}{l o g _{2} 15}$ 。
$lo g_{2} 5 = ab$ を使い $\frac{2 + ab}{a ( 1 + b )}$ 。

よくある間違い

底を統一せず、 $2, 3, 15$ の対数が混ざったまま計算して行き詰まる。
$lo g_{2} 5$ が直接与えられていないのに、 $lo g_{2} 5 = lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 5 = ab$ の連鎖に気づかない。
$20 = 2^{2} \cdot 5$ 、 $15 = 3 \cdot 5$ の素因数分解を誤り、 $lo g_{2} 20, lo g_{2} 15$ を組み立て損ねる。