指数関数の最大・最小(置き換え)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $4^x=(2^x{)}^2$、$2^{x+1}=2\cdot 2^x$。全部が $2^x$ の言葉で書ける。

$t=2^x$ とおくと $y=t^2-2t+3$ の2次関数だ。

急所は $t$ の範囲。$x$ の範囲 $-1\le x\le 2$ を、増加関数 $2^x$ に通して $\frac{1}{2}\le t\le 4$。この区間の中で、放物線の頂点と両端を調べる。

① $t=2^x$ で2次関数にする。 $4^x=(2^x{)}^2=t^2$、$2^{x+1}=2\cdot 2^x=2t$。

$$y=t^2-2t+3=(t-1{)}^2+2$$

② $t$ の範囲を出す。 $2^x$ は増加関数なので、$-1\leqq x\leqq 2$ から

$$2^{-1}\leqq t\leqq 2^2,\text{つまり}\frac{1}{2}\leqq t\leqq 4$$

③ 放物線で最大・最小を読む。 頂点は $t=1$(範囲内)で最小、範囲の両端のうち頂点から遠い $t=4$ で最大。

$$\text{最小}(t=1):y=2,\text{最大}(t=4):y=16-8+3=11$$

④ $x$ に戻す。 $t=1$ は $2^x=1$ すなわち $x=0$、$t=4$ は $2^x=4$ すなわち $x=2$。

$$\text{最大値 }11(x=2),\text{最小値 }2(x=0)$$

まとめ:指数の最大最小は「$t=2^x$ で2次関数 → $t$ の範囲を出す → 放物線の頂点と両端を見る → $x$ に戻す」。$t$ の範囲を出す一手が最重要だ。

発展 — 一歩先へ。 「置きかえ → 新変数の範囲 → 2次関数 → 元へ翻訳」の4段は、$t={\log }_{2}x$(この単元の対数版)でも $t=\sin \theta +\cos \theta$(三角関数)でも、寸分違わず同じだ。単元をまたいで同じ型が3回出る — 高校数学で最も再利用される設計図の1つである。

範囲の端に文字が入る($-1\le x\le a$ など)と、2次関数の「軸と区間の位置関係の場合分け」が合流してくる。2つの単元の道具が同時に試される、良い応用の入り口だ。

別解

最後の判定は、2次関数の単元で使った「候補表」に落とすと確実だ。

最大・最小の候補は、頂点(範囲内にあるとき)と両端しかない。$y=t^2-2t+3=(t-1{)}^2+2$ で、頂点は $t=1$。範囲 $\left[\frac{1}{2},4\right]$ に入っている。

最小は頂点の $2$($x=0$)、最大は右端の $11$($x=2$)。

置きかえ問題は「$t$ の世界で2次関数の作法、最後に $x$ へ翻訳」という2言語の往復だ。答えの $x$ を書き忘れる事故は、表に「対応する $x$」の列を最初から作っておくと防げる。