数学II / 指数関数・対数関数

2ⁿ と 5ⁿ の桁数の和

最難関編常用対数桁数

問題

$n$ を自然数とする。 $2^{n}$ の桁数を $p$ 、 $5^{n}$ の桁数を $q$ とするとき、 $p + q$ を $n$ を用いて表せ。

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$2^{n} \cdot 5^{n} = 1 0^{n}$ 。桁数は常用対数の整数部分 $+ 1$ 。 $n lo g 2$ と $n lo g 5$ は足すと整数 $n$ 、しかもどちらも整数でない。

解答・解説

方針

$2^{n} \cdot 5^{n} = 1 0^{n}$ がカギ。桁数は $⌊ lo g_{10} N ⌋ + 1$ で、 $n lo g_{10} 2 + n lo g_{10} 5 = n$ から床の和を出す。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 主役は $2^{n} \cdot 5^{n} = 1 0^{n}$ という関係だ。 $2^{n}$ と $5^{n}$ は、掛けるとちょうど $1$ のあとに $0$ が $n$ 個並ぶ数になる。桁が補い合う気配がする。

桁数を式で扱うには常用対数を使う。桁数は $lo g_{10}$ の整数部分に $1$ を足したものだ。

だから $n lo g_{10} 2$ と $n lo g_{10} 5$ の整数部分の和が知りたい。この2つの数は、足すとちょうど整数 $n$ 。しかもどちらも整数ではない。実はこの2つの事実だけで、床の和が決まってしまう。

重要正の数

N

の桁数は

⌊ lo g_{10} N ⌋ + 1

① 桁数を対数で書く。 $p = ⌊ n lo g_{10} 2 ⌋ + 1$ 、 $q = ⌊ n lo g_{10} 5 ⌋ + 1$ 。

② 床の和を求める。 $lo g_{10} 2 + lo g_{10} 5 = lo g_{10} 10 = 1$ より $n lo g_{10} 2 + n lo g_{10} 5 = n$ (整数)。 $lo g_{10} 2$ は無理数なので $n lo g_{10} 2$ ( $n \geq 1$ )は整数でなく、 $n lo g_{10} 5 = n - n lo g_{10} 2$ も整数でない。足して整数になる $2$ つの非整数は小数部分が足して $1$ だから

$⌊ n lo g_{10} 2 ⌋ + ⌊ n lo g_{10} 5 ⌋ = n - 1$

③ 桁数の和。 $p + q = (n - 1) + 2 = n + 1$ 。

まとめ: $2^{n} \cdot 5^{n} = 1 0^{n}$ から $n lo g 2 + n lo g 5 = n$ 。整数でない $2$ 数の小数部分は足して $1$ なので床の和は $n - 1$ 、桁数の和は $n + 1$ 。" $2^{n}$ が $k$ 桁なら $5^{n}$ は $n + 1 - k$ 桁"という美しい関係になっている。指数と整数(常用対数)の融合。

発展 — 一歩先へ。 $n lo g_{10} 2$ の小数部分は、 $n$ を進めると $0$ と $1$ のあいだをまんべんなく埋めていくことが知られている(一様分布)。この事実から「 $2^{n}$ の最高位が $1$ になる割合は約 $30%$ 」というベンフォードの法則が導かれる。桁の問題は、小数部分の分布論の入り口だ。

答

$p + q = n + 1$

別解

対数を使わずに(桁の不等式を掛け合わせる)。 桁数の定義に戻ると、対数なしでも示せる。

$2^{n}$ が $p$ 桁とは $1 0^{p - 1} \leq 2^{n} < 1 0^{p}$ ということ。 $5^{n}$ が $q$ 桁とは $1 0^{q - 1} \leq 5^{n} < 1 0^{q}$ ということ。

辺々掛けると

$1 0^{p + q - 2} \leq 2^{n} \cdot 5^{n} = 1 0^{n} < 1 0^{p + q}$

左の等号が成り立つのは、 $2^{n}$ と $5^{n}$ がどちらも $10$ のべきのときだけ。だが $2^{n}$ は素因数に $5$ を含まないから、 $10$ のべきにはならない。よって左も真の不等号で

$1 0^{p + q - 2} < 1 0^{n} < 1 0^{p + q} ⟹ p + q - 2 < n < p + q$

この間にはさまれる整数は $n = p + q - 1$ しかない。ゆえに $p + q = n + 1$ 。

床関数の小数部分(本解)と、桁の不等式の掛け算(本ルート)。同じ事実の2つの顔で、こちらは対数の記号すら使わない。

ポイント

桁数 $= ⌊ lo g_{10} N ⌋ + 1$ 。
$2^{n} \cdot 5^{n} = 1 0^{n}$ より $p + q = n + 1$ 。

よくある間違い

桁数を $lo g_{10} N$ の整数部分そのもの( $+ 1$ 忘れ)とする。 $100$ は $lo g_{10} 100 = 2$ で $3$ 桁。
$⌊ x ⌋ + ⌊ y ⌋ = ⌊ x + y ⌋$ と思い込む。小数部分の和が $1$ になるペアでは $1$ 小さくなる。本問はまさにそのずれが答えを作っている。
$n lo g_{10} 2$ が整数でない理由を言わずに進める。 $2^{n}$ が $10$ のべきでない( $5$ を約数にもたない)ことが根拠。