数学II / 指数関数・対数関数

常用対数の積の最大値

最難関編常用対数最大最小

問題

$a > 1, b > 1$ が $ab = 100$ を満たすとき、 $lo g_{10} a \cdot lo g_{10} b$ の最大値を求めよ。

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$ab = 100$ の両辺の常用対数をとると和が一定になる。 $s = lo g a, t = lo g b$ とおくと、和が一定の下で積 $s t$ を最大化する問題。

解答・解説

方針

両辺の常用対数をとると $lo g_{10} a + lo g_{10} b = 2$ 。 $s = lo g_{10} a, t = lo g_{10} b$ とおけば「和が一定の積の最大」で相加相乗。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 条件は積 $ab = 100$ 、求めるのは対数の積。土俵がずれている。対数をとって、土俵をそろえる。

$s = lo g_{10} a, t = lo g_{10} b$ とおくと、 $ab = 100$ は $s + t = 2$ という「和が一定」の条件に変わり、求めるものはただの積 $s t$ になる。

和が一定のもとで積を最大にする。相加相乗平均の出番だ( $a, b > 1$ から $s, t > 0$ なので使える)。

① 対数をとる。 $s = lo g_{10} a, t = lo g_{10} b$ とおく。 $a, b > 1$ より $s, t > 0$ 。 $ab = 100$ の両辺の常用対数で

$s + t = lo g_{10} 100 = 2$

求めるものは $lo g_{10} a \cdot lo g_{10} b = s t$ 。

② 和が一定の下での積の最大。 相加相乗平均より

$s t \leq (\frac{s + t}{2})^{2} = 1$

等号は $s = t = 1$ 、すなわち $a = b = 10$ 。よって最大値は $1$ 。

s=log₁₀a とおくと s+t=2。log a·log b=s(2−s) は s=1(a=b=10)で最大 1

まとめ: $ab = 100$ を対数で $s + t = 2$ に翻訳するのが急所。和が一定なら積は相加相乗(または放物線 $s t = s (2 - s)$ の頂点)で最大 $1$ 。常用対数と相加相乗平均の融合。

発展 — 一歩先へ。 条件を $ab c = 100$ ( $a, b, c > 1$ )の3文字にすると、同じ翻訳で「 $s + t + u = 2$ のもとで積 $s t u$ の最大」になり、答えは $(\frac{2}{3})^{3} = \frac{8}{27}$ (3変数の相加相乗平均)。文字が増えても「対数で和一定に翻訳 → 相加相乗」という骨格は変わらない。

答

$1$ ( $a = b = 10$ )

別解

2次関数に落とす(文字を1つ消す)。 相加相乗が不安なら、 $t = 2 - s$ を代入して1変数にすればよい。

$s t = s (2 - s) = - (s - 1)^{2} + 1$

$s, t > 0$ より $0 < s < 2$ 。この範囲のまん中に頂点 $s = 1$ が入っているから、最大値は $1$ ( $s = t = 1$ 、すなわち $a = b = 10$ )。

放物線の頂点(視覚)と相加相乗(不等式)は、「和が一定の積」の2大ルート。放物線ルートでは、頂点が定義域に入っているかの確認だけが必須の一手間だ。

ポイント

$ab = 100 \Rightarrow lo g a + lo g b = 2$ 。
和一定の積は相加相乗で最大 $1$ 。

よくある間違い

$a, b > 1$ を使わずに進める。この条件が $s, t > 0$ を保証し、相加相乗平均の適用条件になっている。
$lo g_{10} a \cdot lo g_{10} b$ (対数の積)を $lo g_{10} (ab) = 2$ (積の対数)と混同して「最大 $2$ 」とする。
等号成立( $s = t = 1$ 、つまり $a = b = 10$ )を書かない。最大値の主張には、実現する $a, b$ の確認が要る。