数学II / 指数関数・対数関数

底の変換の連鎖(積が望遠鏡)

実戦編指数対数底の変換積望遠鏡単元横断

問題

$lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 4 \cdot lo g_{4} 5 \dots lo g_{31} 32$ の値を求めよ(各因数は $lo g_{k} (k + 1)$ 、 $k = 2, 3, \dots, 31$ )。

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$lo g_{k} (k + 1) = \frac{lo g ( k + 1 )}{lo g k}$ に統一。積で分子・分母が次々消える。残るのは $\frac{lo g 32}{lo g 2}$ 。

解答・解説

方針

各対数を共通の底(自然対数など)に変換すると、分子と分母が次々に打ち消し合う(望遠鏡積)。残るのは両端。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 底がバラバラの対数の積。まず全部を同じ底に翻訳したくなる。

底の変換公式で $lo g_{k} (k + 1) = \frac{lo g ( k + 1 )}{lo g k}$ (底は何でもよい)。すると積は

分数の鎖 $\frac{lo g 3}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 4}{lo g 3} \cdot \frac{lo g 5}{lo g 4} \dots$ になり、分子と分母が隣どうしで消えていく(望遠鏡)。生き残るのは最初の分母と最後の分子だけだ。

定理底の変換

lo g_{k} (k + 1) = \frac{lo g ( k + 1 )}{lo g k}

(共通の底

lo g

)

① 共通の底にそろえる。 各因数を自然対数で書くと $k = 2 \prod 31 lo g_{k} (k + 1) = \frac{lo g 3}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 4}{lo g 3} \cdot \frac{lo g 5}{lo g 4} \dots \frac{lo g 32}{lo g 31} .$ ② 望遠鏡積。 分子の $lo g 3, lo g 4, \dots, lo g 31$ が次の分母と打ち消し合い、残るのは $\frac{lo g 32}{lo g 2} = lo g_{2} 32.$ ③ 値。 $32 = 2^{5}$ より $lo g_{2} 32 = 5$ 。

まとめ 底の変換で $\frac{lo g ( k + 1 )}{lo g k}$ の積 → 望遠鏡で両端だけ残り $lo g_{2} 32 = 5$ 。底の変換と望遠鏡積の融合。

発展 — 一歩先へ。 「乗数の合成」 $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c = lo g_{a} c$ は底の変換公式の本体である。この連鎖の構造は、微分の連鎖律 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ とそっくり — 「変化率の乗り継ぎ」と「乗数の乗り継ぎ」は同じ発想の親戚だ。

答

底の変換 $lo g_{k} (k + 1) = \frac{lo g ( k + 1 )}{lo g k}$ 。積は $\frac{lo g 3}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 4}{lo g 3} \dots \frac{lo g 32}{lo g 31} = \frac{lo g 32}{lo g 2} = lo g_{2} 32 = 5$ 。

別解

別解 — 「何乗するか」の連鎖で読む(苦手な人向け)。 $lo g_{2} 3$ とは「 $2$ を何乗すると $3$ になるか」という数だ。

$2^{a} = 3$ 、 $3^{b} = 4$ とすると、 $2$ を $a$ 乗して $3$ 、その $3$ を $b$ 乗して $4$ 。つまり $2^{ab} = (2^{a})^{b} = 3^{b} = 4$ — 乗数は掛け算で合成される。

この連鎖を最後までつなぐ。 $2 \to 3 \to 4 \to \dots \to 32$ と乗り継ぐと、乗数の総積は「 $2$ を何乗すると $32$ になるか」、すなわち $lo g_{2} 32$ に等しい。

$lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 4 \dots lo g_{31} 32 = lo g_{2} 32 = 5.$

底の変換公式(本解)を使わずに、「対数=乗数」の定義だけで着地した。分数の約分に見えた望遠鏡の正体は、乗り継ぎの合成だったのである。

ポイント

底の変換で共通の底にそろえる。
分子・分母が打ち消す望遠鏡積。
残る $\frac{lo g 32}{lo g 2} = lo g_{2} 32 = 5$ 。

よくある間違い

底の変換 $lo g_{k} (k + 1) = \frac{lo g ( k + 1 )}{lo g k}$ の分子分母を逆にする。
望遠鏡で残る因子を取り違える(消えるのは中間、残るのは最初の分母 $lo g 2$ と最後の分子 $lo g 32$ )。
最後の $lo g_{2} 32$ を暗算で誤る( $2^{5} = 32$ の確認を一度する)。