数学II / 指数関数・対数関数

対数方程式(基本)

★ 基礎対数方程式真数条件

問題

方程式 $lo g_{2} (x - 1) = 3$ を解け。

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まず真数条件を確認してから、対数の定義で『指数の式』に書き直す。最後に、出た解が真数条件を満たすかのチェックを忘れずに。

解答・解説

方針

まず真数条件(真数 $> 0$ )を確認する。そのうえで、対数の定義で外して $x$ を求め、最後に真数条件を満たすかチェックする。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 対数方程式は、指数の式に翻訳するのが第一手。

$lo g_{2} (x - 1) = 3 ⟺ 2^{3} = x - 1$

$x - 1 = 8 ⟹ x = 9$

しかし、まだ終わりではない。

対数には「真数条件」がある。 $lo g_{a} M$ の $M$ は、必ず正でなければならない( $a^{y}$ は正の値しかとらないから)。

$x - 1 > 0 ⟹ x > 1$

求めた $x = 9$ は、 $x > 1$ を満たす ✓ だから答えとして正しい。

真数条件のチェックを飛ばしてはいけない。 今回は問題なかったが、チェックを怠ると、成り立たない"偽の解"を答えてしまうことがある(別解で実例を見る)。

対数方程式の手順は $3$ 段階。 ①真数条件を書く → ②指数の式に直して解く → ③条件を満たすか確認。

重要対数方程式は、真数条件(真数

> 0

)を確認し、定義

lo g_{a} M = p ⟺ a^{p} = M

で外す

① 真数条件を書く。 真数 $x - 1$ は正でなければならないので $x - 1 > 0$ 、つまり $x > 1$ 。

② 定義で外して解く。 $lo g_{2} (x - 1) = 3$ は $x - 1 = 2^{3}$ 。

$x - 1 = 8 \Rightarrow x = 9$

③ 真数条件を確認する。 $x = 9$ は $x > 1$ を満たすので、これが解。

$x = 9$

まとめ:対数方程式は「真数条件を書く → 定義で外す → 求めた解が真数条件に合うか確認」の3手順。条件チェックを飛ばすと、真数が負になる不適な解を書いてしまう。

発展 — 一歩先へ。 「偽の解が紛れ込む」現象は、同値変形でない操作をしたときに起こる。数学の答案で、最も注意すべき落とし穴だ。

同値でない変形の例。

操作	何が起こるか	対策
$2$ 乗する	解が増える( $x = - 3$ が $x^{2} = 9$ の解に化ける)	最後に代入して検算
分母を払う	分母が $0$ になる値が紛れ込む	分母 $\neq = 0$ を確認
$lo g$ をまとめる	真数条件がゆるむ	元の真数条件で確認
両辺を $x$ で割る	解が減る( $x = 0$ を失う)	$x = 0$ の場合を別に調べる

特に危ないのが最後の「解が減る」パターンだ。 偽の解は検算で見つかるが、失った解は、二度と戻ってこない。

$x^{2} = 3 x$

両辺を $x$ で割ると $x = 3$ 。 しかし $x = 0$ も解である( $0 = 0$ ✓)。

「 $x$ で割った」瞬間に、 $x = 0$ の可能性を勝手に捨てていた。

正しくは、移項して因数分解する。

$x^{2} - 3 x = 0 ⟹ x (x - 3) = 0 ⟹ x = 0, 3$

「割る」のではなく「因数分解する」 — これが鉄則だ。

同値変形の意識を、 $3$ つの問いにまとめよう。

この変形で、解が増えていないか?( $\Rightarrow$ 検算で撃ち落とす)
この変形で、解が減っていないか?( $\Rightarrow$ 割った文字が $0$ の場合を調べる)
元の式が意味を持つ条件は?( $\Rightarrow$ 真数条件、分母 $\neq = 0$ 、根号の中 $≧ 0$ )

数学の答案は、「正しい答えを出す」だけでは足りない。 「それがすべての解であり、他に解がないこと」まで示して、はじめて完成する。

真数条件のチェックは、その完成度を支える柱なのである。

答

$x = 9$

別解

「真数条件なんて、形式的な儀式だろう」 — そう思う人のために、それを忘れると本当に間違える例を見せよう。この $1$ 例で、真数条件の重要性が骨身にしみるはずだ。

問題: $lo g_{2} (x - 1) + lo g_{2} (x - 2) = 1$ を解け。

手順1(飛ばしてはいけない): 真数条件を書く。

$x - 1 > 0 かつ x - 2 > 0$

$2$ つとも満たす必要がある。

$x > 1 かつ x > 2 ⟹ x > 2$

きつい方の条件が残る。

手順2: 対数の性質でまとめて、指数の式に直す。

$lo g_{2} (x - 1) (x - 2) = 1 ⟺ (x - 1) (x - 2) = 2^{1} = 2$

手順3: $2$ 次方程式を解く。

$x^{2} - 3 x + 2 = 2 ⟹ x^{2} - 3 x = 0 ⟹ x (x - 3) = 0$

$x = 0, 3$

$2$ つの解が出た。

手順4(ここが本番): 真数条件で、ふるいにかける。

$x = 0$ は、 $x > 2$ を満たすか? — 満たさない。

実際に元の式に代入してみよう。

$lo g_{2} (0 - 1) = lo g_{2} (- 1)$

負の数の対数! — 存在しない。 $2$ を何乗しても $- 1$ にはならない。

$x = 0$ は、方程式の解ではなかった。 計算の途中で紛れ込んだ偽の解である。

$x = 3$ は、 $x > 2$ を満たす ✓ 代入して確かめると

$lo g_{2} 2 + lo g_{2} 1 = 1 + 0 = 1 ✓$

正しい。

$x = 3 のみ$

もし真数条件を書かずに「 $x = 0, 3$ 」と答えたら、半分間違い — 大きな減点だ。

なぜ偽の解が生まれるのか。

$lo g_{2} (x - 1) + lo g_{2} (x - 2) = lo g_{2} (x - 1) (x - 2)$

この変形が、実は"同値でない"。

左辺が意味を持つには、 $x - 1 > 0$ かつ $x - 2 > 0$ が必要
右辺が意味を持つには、 $(x - 1) (x - 2) > 0$ だけでよい — $2$ つとも負でもOK!

$x = 0$ のとき、 $x - 1 = - 1$ 、 $x - 2 = - 2$ — どちらも負だが、積は $2$ で正。 右辺は計算できてしまうが、左辺は計算できない。

「まとめる」操作が、条件をゆるめてしまった。 だから、まとめる前の条件( $x > 2$ )に立ち返って、ふるいにかける必要がある。

教訓。

$式変形で条件がゆるむなら、最後に元の条件で確認する$

これは対数だけの話ではない。 「 $2$ 乗する」「分母を払う」「両辺を掛ける」— 同値でない変形をしたら、必ず検算する。

真数条件は、形式的な儀式ではない。 それは、偽の解を撃ち落とすための、実弾なのである。

ポイント

対数方程式は真数条件(真数 $> 0$ )が最優先。
定義 $lo g_{a} M = p ⟺ a^{p} = M$ で外す。

よくある間違い

真数条件( $x - 1 > 0$ )を書かずに答えてしまう
$lo g_{2} (x - 1) = 3$ を $x - 1 = 3$ としてしまう(指数の式に直すと $x - 1 = 2^{3}$ )
$2^{3}$ を $6$ と計算してしまう( $2 \times 3$ ではなく $2$ の3乗で $8$ )