数学II / 指数関数・対数関数

底のちがう対数の和

★★★ 応用対数の性質底の変換

問題

$lo g_{2} 3 + lo g_{4} 9 + lo g_{8} 27$ の値を、 $lo g_{2} 3$ を用いて表せ。

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$3$ つの対数の底は、どれも同じ数の累乗になっている。底をそろえる変換をすると、それぞれが $lo g_{2} 3$ の定数倍に化ける。

解答・解説

方針

底がバラバラ( $2$ 、 $4$ 、 $8$ )なので、底の変換で全部底 $2$ にそろえる。真数も $9 = 3^{2}$ 、 $27 = 3^{3}$ と直すと、どの項も $lo g_{2} 3$ の何倍かになる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 底が $2, 4, 8$ とバラバラで、そのままでは足せない。

そこで底の変換を使い、全部を底 $2$ にそろえる。真数も $9 = 3^{2}$ 、 $27 = 3^{3}$ と直す。

すると各項が $lo g_{2} 3$ の何倍かに化ける。「底も真数も統一すれば、 $1$ つの量の定数倍に集約される」という発想だ。

公式底の変換

lo g_{a} b = \frac{lo g _{2} b}{lo g _{2} a}

、

lo g_{2} M^{k} = k lo g_{2} M

① 第2項を底 $2$ に直す。 $lo g_{4} 9 = \frac{lo g _{2} 9}{lo g _{2} 4} = \frac{2 lo g _{2} 3}{2} = lo g_{2} 3$ 。

② 第3項を底 $2$ に直す。 $lo g_{8} 27 = \frac{lo g _{2} 27}{lo g _{2} 8} = \frac{3 lo g _{2} 3}{3} = lo g_{2} 3$ 。

③ 足し合わせる。 3項とも $lo g_{2} 3$ になった。

$lo g_{2} 3 + lo g_{2} 3 + lo g_{2} 3 = 3 lo g_{2} 3 = lo g_{2} 27$

まとめ: $lo g_{4} 9$ や $lo g_{8} 27$ は、底も真数も「 $2$ の累乗・ $3$ の累乗」でそろう。底の変換をすると係数がきれいに約分され、全部 $lo g_{2} 3$ にまとまる。

発展 — 一歩先へ。 本問がきれいにそろったのは、底 $2^{k}$ と真数 $3^{k}$ が同じ指数 $k$ を持っていたからだ。

もし真数の指数がそろわないと、こうはならない。たとえば $lo g_{2} 3 + lo g_{4} 3 + lo g_{8} 3$ は、底だけが $2, 2^{2}, 2^{3}$ なので $lo g_{2} 3 (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = \frac{11}{6} lo g_{2} 3$ となる。底が $2^{k}$ になるたび係数 $\frac{1}{k}$ が外へ出るからだ。

本問では真数側の $3^{k}$ がその $\frac{1}{k}$ をちょうど打ち消し、どの項も $lo g_{2} 3$ まるまるに戻った。「底と真数を同じ指数で持ち上げても対数は変わらない」という不変性が働いている。

答

$3 lo g_{2} 3$ (すなわち $lo g_{2} 27$ )

別解

別解 — 対数の定義に戻って読む(得意な人向けの視点)。 $lo g_{2} 3 = u$ とおく。定義より $2^{u} = 3$ 。この $u$ で各項を読む。

$lo g_{4} 9$ は「 $4$ を何乗すると $9$ か」。 $4^{p} = 9$ とおくと $2^{2 p} = 3^{2} = (2^{u})^{2} = 2^{2 u}$ 。指数を比べて $p = u$ 。

$lo g_{8} 27$ も同じ。 $8^{q} = 27$ から $2^{3 q} = 3^{3} = 2^{3 u}$ 、よって $q = u$ 。

$3$ 項はすべて $u = lo g_{2} 3$ 。和は $3 u = 3 lo g_{2} 3 = lo g_{2} 27$ 。底の変換の分数計算をする本解と同じで、定義に戻ると「底と真数を同じ指数にそろえた対数は等しい」という理由まで見える。

ポイント

底がちがう和は、底の変換で共通の底へ。
$lo g_{2^{m}} 3^{n} = \frac{n}{m} lo g_{2} 3$ の形になる。

よくある間違い

$lo g_{4} 9 = \frac{lo g _{2} 9}{lo g _{2} 4}$ の分母 $lo g_{2} 4$ を $4$ とし(正しくは $2$ )、係数を誤る。
底だけ底 $2$ に直して真数 $9 = 3^{2}$ 、 $27 = 3^{3}$ の指数を落とし、 $3$ 項が等しいことに気づかない。
$3$ 項がすべて $lo g_{2} 3$ だと分かっても、 $lo g_{2} 3 + lo g_{2} 3 + lo g_{2} 3$ を $lo g_{2} 9$ 等と足し方を誤る。