数学II / 指数関数・対数関数

指数不等式(2^x の置換で2次)

実戦編指数対数指数不等式置換2次不等式単元横断

問題

不等式 $4^{x} - 3 \cdot 2^{x + 1} + 8 \leq 0$ を解け。

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$t = 2^{x}$ とおくと $4^{x} = t^{2}$ 、 $2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x} = 2 t$ 。 $t$ の $2$ 次不等式に。最後に $2^{x} = t$ を $x$ に戻す。

解答・解説

方針

$t = 2^{x}$ で置換して $t$ の $2$ 次不等式にする。 $t > 0$ に注意しつつ解き、 $2^{x} = t$ を $x$ に戻す(指数関数は単調増加)。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $4^{x}$ と $2^{x}$ が混ざっている。底をそろえると $4^{x} = (2^{x})^{2}$ 、 $2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x}$ — すべて $2^{x}$ のかたまりで書ける。

そこで $t = 2^{x}$ とおく。不等式は $t^{2} - 6 t + 8 \leq 0$ という、ただの2次不等式になる。

置換したら範囲に注意。 $t = 2^{x}$ は常に正だ。 $t$ の範囲を解いたら、最後に指数関数の単調性で $x$ の範囲へ戻す。

重要

t = 2^{x} > 0

とおくと

4^{x} = t^{2}, 2^{x + 1} = 2 t

。指数関数

2^{x}

は単調増加

① 置換。 $t = 2^{x}$ ( $t > 0$ )とおくと $t^{2} - 3 \cdot 2 t + 8 \leq 0 ⟹ t^{2} - 6 t + 8 \leq 0.$ ② $2$ 次不等式。 $(t - 2) (t - 4) \leq 0 \Rightarrow 2 \leq t \leq 4$ ( $t > 0$ を満たす)。

③ $x$ に戻す。 $2 \leq 2^{x} \leq 4$ 、すなわち $2^{1} \leq 2^{x} \leq 2^{2}$ 。 $2^{x}$ は単調増加だから $1 \leq x \leq 2.$

t=2^x とおくと t²−6t+8=(t−2)(t−4)≤0 ⟺ 2≤t≤4 ⟺ 1≤x≤2

まとめ $t = 2^{x}$ で $t^{2} - 6 t + 8 \leq 0$ 、 $2 \leq t \leq 4$ を $x$ に戻して $1 \leq x \leq 2$ 。指数不等式と $2$ 次不等式の融合。単調性で不等号を保つのが要。

発展 — 一歩先へ。 底を $\frac{1}{2}$ に変えた $(\frac{1}{2})^{x}$ の同じ不等式では、 $2 \leq (\frac{1}{2})^{x} \leq 4$ を戻す最後の一手で不等号が反転し、解は $- 2 \leq x \leq - 1$ になる。置換と2次不等式は同じでも、「戻し」の単調性(増加か減少か)だけが答えの向きを決める。

答

$t = 2^{x} > 0$ とおくと $4^{x} = t^{2}, 2^{x + 1} = 2 t$ 。 $t^{2} - 6 t + 8 \leq 0 \Rightarrow (t - 2) (t - 4) \leq 0 \Rightarrow 2 \leq t \leq 4$ 。 $2 \leq 2^{x} \leq 4 \Rightarrow 1 \leq x \leq 2$ 。

別解

別解 — 値の表で当たりをつけてから証明する(苦手な人向け)。 いきなり置換せず、左辺 $f (x) = 4^{x} - 3 \cdot 2^{x + 1} + 8$ に整数を入れて表を作ってみる。

$f (0) = 1 - 6 + 8 = 3 > 0$
$f (1) = 4 - 12 + 8 = 0$
$f (1.5) = 16 - 122 \approx - 0.97 < 0$
$f (2) = 16 - 24 + 8 = 0$
$f (3) = 64 - 48 + 8 = 24 > 0$

$x = 1$ と $x = 2$ でちょうど $0$ 、間で負、外で正 — 解は $1 \leq x \leq 2$ らしい、と見当がつく。

見当がつけば、あとは証明だ。 $t = 2^{x}$ の置換で $(t - 2) (t - 4) \leq 0$ と因数分解できることが、表の「ちょうど $0$ になる2点」( $t = 2, 4$ 、つまり $x = 1, 2$ )の種明かしになっている。実験 → 構造の発見 → 証明、の順で進むと置換の意味がよく見える。

ポイント

$t = 2^{x} > 0$ で $2$ 次不等式に。
$(t - 2) (t - 4) \leq 0$ 、 $2 \leq t \leq 4$ 。
単調増加で $1 \leq x \leq 2$ 。

よくある間違い

$2^{x + 1}$ を $2^{x} + 1$ と読む( $= 2 \cdot 2^{x}$ 。指数法則の混同)。
$t = 2^{x} > 0$ の断りを忘れる(今回は解の区間が正なので無事だが、負の解をもつ2次だと余計な解を拾う)。
$t$ の範囲から $x$ へ戻すとき、「底 $2 > 1$ だから単調増加で不等号の向きは保たれる」の一言を飛ばす。