対称式(2^x+2^{−x} から 8^x+8^{−x})

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $8^x=(2^x{)}^3$。つまり聞かれているのは、$a=2^x$、$b=2^{-x}$ とおいたときの $a^3+b^3$ だ。

$a+b=3$ は与えられている。そして $ab=2^x\cdot 2^{-x}=1$ — 積が自動的に $1$ になるのが、この形の最大の恩恵である。

和と積が分かれば、対称式は全部計算できる。$a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$ に流し込むだけだ。

① $3$ 乗の和に。 $8^x+8^{-x}=(2^x{)}^3+(2^{-x}{)}^3=a^3+b^3$($a=2^x,b=2^{-x}$)。

② 対称式で表す。 $a+b=3$、$ab=2^x\cdot 2^{-x}=1$。 $$a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)=3^3-3\cdot 1\cdot 3=27-9=18.$$

まとめ $8^x+8^{-x}=a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)=27-9=18$($ab=1$)。指数と対称式の融合。$8^x=(2^x{)}^3$ と $ab=1$ が要。

発展 — 一歩先へ。 $2^x$ の値も求まる。$a+b=3,ab=1$ から $a=2^x$ は $u^2-3u+1=0$ の解 $\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$。大きい方は黄金比 $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ の2乗である(${\phi }^2=\phi +1$ から確かめられる)。対称式の問題の裏に、黄金比がひっそり座っていた。

別解

別解 — 漸化式で次々に作る(得意な人向けの高い視点)。 $p_n=2^{nx}+2^{-nx}$ とおくと、$t=p_1=3$ を掛けることで

$$p_1\cdot p_n=p_{n+1}+p_{n-1}⟹p_{n+1}=3p_n-p_{n-1}.$$

($2^x\cdot 2^{nx}=2^{(n+1)x}$ と $2^x\cdot 2^{-nx}=2^{-(n-1)x}$ の交差項が $p_{n-1}$ になる。)

初期値 $p_0=2$、$p_1=3$ から回すと

$$p_2=3\cdot 3-2=7,p_3=3\cdot 7-3=18.$$

$8^x+8^{-x}=p_3=18$。しかも途中で $4^x+4^{-x}=p_2=7$ もタダで手に入る。この漸化式は $x+\frac{1}{x}$ の対称式とまったく同じ構造で、$16^x+16^{-x}=3\cdot 18-7=47$ と、いくらでも先へ進める。