数学II / 指数関数・対数関数

対数不等式(底が1より小)

★★ 標準対数不等式真数条件

問題

不等式 $lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1) > - 2$ を解け。

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右辺の数も同じ底の対数として書き直すと、真数どうしの比較に持ち込める。ただし底が $1$ より小さい — このときの不等号の扱いが最重要ポイント。真数条件も忘れずに。

解答・解説

真数条件 $x - 1 > 0$ を先に書く。右辺 $- 2$ を同じ底 $\frac{1}{2}$ の対数に直す。底が $1$ より小さいので、対数を外すとき不等号が逆になる。最後に真数条件と合わせる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 まず真数条件 $x - 1 > 0$ 、つまり $x > 1$ 。

右辺の $- 2$ を、同じ底の対数に直す。 $- 2 = lo g_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^{- 2} = lo g_{\frac{1}{2}} 4$ 。

対数を外す段で、底 $\frac{1}{2}$ は $1$ より小さい(減少関数)から、不等号が反転する。 $x - 1 < 4$ 。真数条件と合わせて $1 < x < 5$ だ。

公式底

0 < a < 1

の対数不等式は、真数を比べるとき不等号が逆になる

① 真数条件を書く。 $x - 1 > 0$ 、つまり $x > 1$ 。

② 右辺を同じ底の対数にする。 $- 2 = lo g_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^{- 2} = lo g_{\frac{1}{2}} 4$ 。

$lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1) > lo g_{\frac{1}{2}} 4$

③ 対数を外す(不等号は逆)。 底 $\frac{1}{2} < 1$ なので、真数の大小は逆向き。

$x - 1 < 4 \Rightarrow x < 5$

④ 真数条件と合わせる。 $x > 1$ かつ $x < 5$ 。

$1 < x < 5$

まとめ:底が $1$ より小さい対数不等式は、外すときに不等号を逆にする。さらに真数条件( $x > 1$ )と必ず合わせて範囲を確定する。

発展 — 一歩先へ。 反転の正体はグラフの向きだ。 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ は右下がりで、「値が大きい ⟺ 真数が小さい」。指数不等式で底 $\frac{1}{2}$ のときに反転したのと、まったく同じ現象である。

底に文字が入る $lo g_{a} x > 1$ のような問題では、「 $a > 1$ か $0 < a < 1$ か」の場合分けが正面から問われる。今日の2つの支払い方(外す瞬間・そろえる瞬間)のどちらでも処理できるようにしておくと、その応用が軽くなる。

答

$1 < x < 5$

反転のタイミングを1回に固定したいなら、最初に底を $2$ に変換してしまう手がある。

$\frac{1}{2} = 2^{- 1}$ だから、底の変換で

$lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1) = \frac{lo g _{2} ( x - 1 )}{lo g _{2} \frac{1}{2}} = - lo g_{2} (x - 1)$

不等式は $- lo g_{2} (x - 1) > - 2$ 、両辺を $- 1$ 倍して(ここで反転)

$lo g_{2} (x - 1) < 2$

底 $2$ は $1$ より大きいから、あとは何も反転せず $x - 1 < 4$ 。真数条件と合わせて $1 < x < 5$ 。

「底が $1$ 未満の対数=マイナス1個ぶん」と最初に清算しておけば、以降は安心な底 $2$ の世界だけで進める。反転を「対数を外す瞬間」に払うか、「底をそろえる瞬間」に払うか — 支払いのタイミングが違うだけで、総額は同じである。