数学II / 指数関数・対数関数

底の変換と対数の和(=1)

最難関編対数の性質底の変換

問題

$n \geq 2$ を自然数とする。 $k = 2 \sum n \frac{1}{lo g _{k} ( n !)}$ の値を求めよ。ただし $n! = 1 \cdot 2 \dots n$ とする。

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$\frac{1}{lo g _{k} N}$ は底の変換で"ひっくり返る"。同じ底 $n!$ にそろえると、和が $lo g_{n!}$ の真数の積になり、 $2 \cdot 3 \dots n$ が現れる。

解答・解説

方針

$\frac{1}{lo g _{k} ( n !)} = lo g_{n!} k$ (底の変換)。和は $lo g_{n!}$ の真数の積になり、 $2 \cdot 3 \dots n = n!$ 。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{1}{lo g _{k} ( n !)}$ という「対数の逆数」の形がヒントだ。底の変換を思い出すと、逆数は底と真数の交換: $\frac{1}{lo g _{k} ( n !)} = lo g_{n!} k$ 。

ひっくり返すと、すべての項の底が $n!$ にそろう。同じ底の対数の和は、真数の積の対数だ。

真数は $k = 2, 3, \dots, n$ 。その積 $2 \cdot 3 \dots n$ は $n!$ そのもの。 $lo g_{n!} (n!) = 1$ で終わる。

公式底の変換

\frac{1}{lo g _{k} N} = lo g_{N} k

① 逆数を対数に直す。 $\frac{1}{lo g _{k} ( n !)} = lo g_{n!} k$ 。よって

$k = 2 \sum n \frac{1}{lo g _{k} ( n !)} = k = 2 \sum n lo g_{n!} k = lo g_{n!} (2 \cdot 3 \dots n)$

(対数の和=真数の積)。

② 真数は $n!$ そのもの。 $2 \cdot 3 \dots n = n!$ だから

$lo g_{n!} (n!) = 1$

まとめ: $\frac{1}{lo g _{k} N} = lo g_{N} k$ で底を $n!$ にそろえるのが急所。和が $lo g_{n!} (2 \cdot 3 \dots n) = lo g_{n!} (n!) = 1$ に化ける。底の変換と数列(積)の融合。

発展 — 一歩先へ。 種明かしをすれば $\sum \frac{1}{lo g _{k} N} = lo g_{N} (真数の積)$ だから、真数の積が $N$ に一致する集まりなら何でも和は $1$ になる。たとえば $\frac{1}{lo g _{2} 100} + \frac{1}{lo g _{50} 100} = lo g_{100} 2 + lo g_{100} 50 = lo g_{100} 100 = 1$ 。 $n!$ は「 $2$ から $n$ までの積」という、この仕掛けのいちばん自然な衣装だった。

答

$1$

別解

共通の底でふつうの分数にする(分母をそろえて分子を足す)。 底の変換で、全部の項を同じ底(たとえば常用対数)の分数に直してもよい。

$\frac{1}{lo g _{k} ( n !)} = \frac{lo g _{10} k}{lo g _{10} ( n !)}$

(底の変換 $lo g_{k} (n!) = \frac{lo g _{10} ( n !)}{lo g _{10} k}$ の逆数をとった。)分母がすべて $lo g_{10} (n!)$ にそろったので、分子だけ足せばよい:

$k = 2 \sum n \frac{lo g _{10} k}{lo g _{10} ( n !)} = \frac{lo g _{10} 2 + lo g _{10} 3 + \dots + lo g _{10} n}{lo g _{10} ( n !)} = \frac{lo g _{10} ( 2 \cdot 3 \dots n )}{lo g _{10} ( n !)} = 1$

底 $n!$ へひっくり返す(本解)より一手多いが、「分母をそろえて分子を足す」という分数の素朴な感覚だけで進める。途中でどの底を選んでも値が変わらないのは、結局すべてが比だからだ。

ポイント

$\frac{1}{l o g _{k} N} = lo g_{N} k$ で底をそろえる。
真数の積 $= n!$ で値は $1$ 。

よくある間違い

$\frac{1}{lo g _{k} N} = lo g_{N} k$ を逆向きに覚えて $lo g_{k} N$ のまま足す。値が $n!$ と無関係になったら変換ミスを疑う。
底がばらばらのまま「対数の和=真数の積」を使う。この公式が使えるのは同じ底のときだけ。
$k = 1$ を和に入れる。 $lo g_{1}$ は定義されない( $1$ の累乗は $1$ のみ)。和が $k = 2$ 始まりであることに意味がある。