数学II / 指数関数・対数関数

指数不等式を満たす最小の自然数(常用対数)

実戦編指数対数指数不等式常用対数単元横断

問題

$lo g_{10} 3 = 0.4771$ とする。 $0. 9^{n} < 0.01$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めよ。

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$lo g 0.9 = 2 lo g 3 - 1 < 0$ 。 $0. 9^{n} < 0.01 = 1 0^{- 2}$ の対数をとると $n lo g 0.9 < - 2$ 。負の数で割るので不等号が反転。

解答・解説

方針

両辺の常用対数をとる。 $lo g 0.9 < 0$ に注意して不等号の向きを反転させ、 $n$ の下界を求めて最小の自然数を選ぶ。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $0.9$ を何回掛けたら $\frac{1}{100}$ を下回るか。回数 $n$ が指数の位置にいるから、対数で引きずり下ろす。

両辺の常用対数をとると $n lo g 0.9 < - 2$ 。ここで最大の注意点がある。 $lo g 0.9$ は負だ。

負の数で割ると不等号の向きが反転する。 $n > \frac{2}{0.0458}$ と正しく向きを変え、これを超える最小の自然数を選ぶ。

重要

lo g_{10} 0.9 = 2 lo g_{10} 3 - 1 = - 0.0458 < 0

。負の数で割ると不等号は反転

① 対数をとる。 $0. 9^{n} < 0.01 = 1 0^{- 2}$ の両辺の常用対数をとると $n lo g 0.9 < - 2.$ ② $lo g 0.9$ を数値化。 $lo g 0.9 = lo g \frac{9}{10} = lo g 9 - 1 = 2 lo g 3 - 1 = 2 \times 0.4771 - 1 = - 0.0458$ 。

③ $n$ を求める。 $- 0.0458 n < - 2$ 。両辺を負の $- 0.0458$ で割ると不等号が反転し $n > \frac{2}{0.0458} = 43.6 \dots .$ これを満たす最小の自然数は $n = 44$ 。

まとめ $lo g 0.9 = - 0.0458 < 0$ 、 $n lo g 0.9 < - 2$ を反転して $n > 43.6$ 、最小 $n = 44$ 。指数不等式と常用対数の融合。負の対数で不等号が反転するのを忘れない。

発展 — 一歩先へ。 $0.9$ 倍の繰り返しは「減衰」であり、半分になるまでの回数(半減期)は $\frac{lo g 0.5}{lo g 0.9} \approx 6.6$ 回。 $\frac{1}{100}$ は半分を約 $6.64$ 回重ねた量( $2^{6.64} \approx 100$ )だから、 $6.6 \times 6.64 \approx 44$ 回 — 同じ答えに着く。放射性物質の崩壊や薬の血中濃度など、減衰現象はみなこの計算で読める。

答

常用対数をとる。 $lo g 0.9 = lo g \frac{9}{10} = 2 lo g 3 - 1 = 0.9542 - 1 = - 0.0458$ 。 $0. 9^{n} < 0.01$ は $n lo g 0.9 < - 2$ 、 $- 0.0458 n < - 2$ 、 $n > \frac{2}{0.0458} = 43.7$ 。最小の自然数は $44$ 。

別解

別解 — 分数をなくしてから対数をとる(符号ミスを封じるルート)。 $lo g 0.9$ が負であることが、この問題の事故多発地帯だ。そこで、負の対数が出ない形に先に直す。

$0. 9^{n} < \frac{1}{100} ⟺ (\frac{9}{10})^{n} < \frac{1}{100} ⟺ 9^{n} \cdot 100 < 1 0^{n} ⟺ 9^{n} < 1 0^{n - 2} .$

両辺とも $1$ より大きい数のべきになった。常用対数をとると

$2 n lo g_{10} 3 < n - 2 ⟺ n (1 - 2 lo g_{10} 3) > 2 ⟺ n > \frac{2}{1 - 0.9542} = \frac{2}{0.0458} = 43.6 \dots$

よって最小の $n$ は $44$ 。移項の途中で負の数で割る場面が消え、不等号の反転を一度も使わずに済んだ。検算として $0. 9^{43} \approx 0.0107 > 0.01$ 、 $0. 9^{44} \approx 0.0097 < 0.01$ も成り立つ。

ポイント

$lo g 0.9 = 2 lo g 3 - 1 = - 0.0458 < 0$ 。
対数をとって $n lo g 0.9 < - 2$ 。
負で割り反転、 $n > 43.6$ 、最小 $n = 44$ 。

よくある間違い

$lo g 0.9 < 0$ で割るときの不等号の反転を忘れる(この問題の事故の大半)。
$n > 43.6 \dots$ から $n = 43$ と答える(「超える最小の自然数」は $44$ )。
答えの検算をしない( $0. 9^{43} \approx 0.0107$ 、 $0. 9^{44} \approx 0.0097$ — 境界の両側を確かめると確信できる)。