数学II / 指数関数・対数関数

底の変換

★ 基礎底の変換

問題

$lo g_{4} 8$ の値を求めよ。

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底 $4$ のままでは計算しにくい。底をそろえる変換があった — $8$ も $4$ も同じ数の累乗であることを活かそう。

解答・解説

方針

底がそろっていないので、底の変換公式で底を $2$ にそろえる。 $lo g_{4} 8 = \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 4}$ 。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $lo g_{4} 8$ — 底が $4$ で、真数が $8$ 。

「 $4$ を何乗すると $8$ ?」— $4^{1} = 4$ 、 $4^{2} = 16$ 。 $8$ は、そのあいだにある。答えは整数ではない。

$4$ も $8$ も $2$ のべきだと気づく。

$4 = 2^{2}, 8 = 2^{3}$

そこで、底の変換公式を使う。

$lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a} (c は好きな底)$

底を $2$ に統一する。

$lo g_{4} 8 = \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 4} = \frac{3}{2}$

「底を揃えて、割り算」 — これが底の変換だ。

確かめる。 $4^{\frac{3}{2}} = (4^{\frac{1}{2}})^{3} = 2^{3} = 8$ ✓

公式底の変換

lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}

底を $2$ にそろえる。

$lo g_{4} 8 = \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 4}$

$lo g_{2} 8 = 3$ 、 $lo g_{2} 4 = 2$ なので

$= \frac{3}{2}$

発展 — 一歩先へ。 底の変換公式から、驚くべきことが分かる。どの底で対数をとっても、本質的には同じなのだ。

$lo g_{a} x = \frac{lo g _{10} x}{lo g _{10} a} = ただの定数 \frac{1}{lo g _{10} a} \times lo g_{10} x$

$lo g_{a} x$ は、 $lo g_{10} x$ の定数倍にすぎない。

つまり、底を変えても「グラフの形」は変わらない — 縦に伸び縮みするだけだ。

$lo g_{2} x = \frac{1}{0.3010} lo g_{10} x \approx 3.32 lo g_{10} x$

$lo g_{2}$ のグラフは、 $lo g_{10}$ のグラフを縦に $3.32$ 倍しただけ。

だから、数学では「どの底を使うか」は好みの問題になる。 そして、分野ごとに慣習がある。

数学・物理: 底 $e$ (自然対数 $ln$ )。微分が $\frac{1}{x}$ ときれいになるから
工学・実用計算: 底 $10$ (常用対数)。桁数がすぐ分かるから
情報科学: 底 $2$ 。ビット(情報量)の単位に対応するから

情報理論での対数。 「 $8$ 通りの可能性から $1$ つを特定するのに、何ビット必要か?」

$lo g_{2} 8 = 3 ビット$

$3$ 回の「はい/いいえ」質問で、 $8$ 通りが特定できる( $2^{3} = 8$ )。

$1$ ビットとは、「 $2$ 択を $1$ 回決める情報量」 — だから底 $2$ の対数が、情報の自然な単位になる。

この考え方が、シャノンの情報理論( $1948$ 年)を生み、デジタル通信・データ圧縮・暗号のすべての基礎になった。

$lo g_{4} 8 = \frac{3}{2}$ という計算。 それは「 $4$ 択の質問を $1.5$ 回すれば、 $8$ 通りが特定できる」という、情報の量の話でもある( $4$ 択 $1$ 回 $=$ $2$ ビット、だから $1.5$ 回 $=$ $3$ ビット ✓)。

底を変えるとは、"単位を変える"こと。 メートルをフィートに直すのと同じで、中身は変わらない。

答

$\frac{3}{2}$

別解

公式を使わず、定義に戻って解く。 そして、底の変換公式が「なぜそうなるのか」を証明する。

定義ルート: 「 $4$ を何乗すると $8$ ?」を、そのまま解く。

求める値を $p$ とおく。

$lo g_{4} 8 = p ⟺ 4^{p} = 8$

指数方程式になった。底を $2$ に揃える。

$(2^{2})^{p} = 2^{3} ⟹ 2^{2 p} = 2^{3}$

底が同じなので、指数を比べる。

$2 p = 3 ⟹ p = \frac{3}{2} ✓$

公式を使わずに解けた。 しかも、これは指数方程式を解いているだけだ( $5$ 番の問題と同じ)。

対数の問題は、指数の問題に翻訳できる。 迷ったら、いつでもここに戻ればよい。

さて、底の変換公式を証明しよう。

$lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$

証明。 $p = lo g_{a} b$ とおく。定義から

$a^{p} = b$

両辺の $lo g_{c}$ をとる( $c$ は任意の底)。

$lo g_{c} a^{p} = lo g_{c} b$

左辺に「 $lo g M^{k} = k lo g M$ 」を使う。

$p lo g_{c} a = lo g_{c} b$

$p$ について解く。

$p = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a} ✓$

証明終わり。 使ったのは「 $lo g M^{k} = k lo g M$ 」だけ — 前問の性質から出てくる。

この公式の使い道は、 $3$ つある。

用途1: 底を揃える(この問題)。異なる底の対数が混じった式は、 $1$ つの底に統一しないと計算できない。

用途2: 電卓で計算する。 電卓には $lo g$ ( $= lo g_{10}$ )と $ln$ ( $= lo g_{e}$ )しかない。 $lo g_{2} 100$ を計算したければ

$lo g_{2} 100 = \frac{lo g _{10} 100}{lo g _{10} 2} = \frac{2}{0.3010} \approx 6.64$

どんな底の対数も、 $10$ を底とする対数から計算できる。

用途3: 逆数の関係。 $c = b$ とすると

$lo g_{a} b = \frac{lo g _{b} b}{lo g _{b} a} = \frac{1}{lo g _{b} a}$

$lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$

底と真数を入れかえると、逆数になる。

$lo g_{2} 8 = 3 ⟺ lo g_{8} 2 = \frac{1}{3}$

確かめる: $8^{\frac{1}{3}} = 38 = 2$ ✓

「底と真数の立場は、逆数で結ばれている」 — 美しい対称性だ。

ポイント

底がそろわないときは底の変換で共通の底に。
分子が真数、分母が底(の対数)。

よくある間違い

底の変換公式で、分子と分母を逆にする( $lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$ で、真数が分子)
$lo g_{4} 8 = 2$ としてしまう(4を2乗すると16。8ではない)
$4$ と $8$ を $2$ のべきに直せず、計算の土俵に乗せられない