数学II / 指数関数・対数関数

対数の定義

★ 基礎対数の定義

問題

次の値を求めよ。

(1) $lo g_{2} 8$

(2) $lo g_{3} \frac{1}{9}$

(3) $lo g_{10} 1$

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対数の定義『 $lo g_{a} M$ は、 $a$ を何乗すると $M$ になるかを表す数』に戻ろう。定義さえ言えれば $3$ つとも即答できる。

解答・解説

方針

$lo g_{a} M$ は「 $a$ を何乗すれば $M$ になるか」を表す。 $a^{?} = M$ の $?$ をさがす。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 対数は、「何乗すればよいか」を答える関数である。

$lo g_{a} x = (a を何乗すると x になるか)$

日本語で読み下すのが、いちばん確実だ。

(1) $lo g_{2} 8$ — 「 $2$ を何乗すると $8$ ?」

$2^{3} = 8 ⟹ lo g_{2} 8 = 3$

(2) $lo g_{3} \frac{1}{9}$ — 「 $3$ を何乗すると $\frac{1}{9}$ ?」

$3^{- 2} = \frac{1}{9} ⟹ lo g_{3} \frac{1}{9} = - 2$

分数になったら、指数は負だ。

(3) $lo g_{10} 1$ — 「 $10$ を何乗すると $1$ ?」

$1 0^{0} = 1 ⟹ lo g_{10} 1 = 0$

どんな底でも $lo g_{a} 1 = 0$ 。 $a^{0} = 1$ だからだ。

「 $lo g$ を見たら、指数の式に翻訳する」 — これが対数の第一歩である。

公式対数の定義:

lo g_{a} M = p ⟺ a^{p} = M

(1) $2$ を何乗すれば $8$ か。 $2^{3} = 8$ なので

$lo g_{2} 8 = 3$

(2) $3$ を何乗すれば $\frac{1}{9}$ か。 $3^{- 2} = \frac{1}{9}$ なので

$lo g_{3} \frac{1}{9} = - 2$

(3) どんな底でも $a^{0} = 1$ なので

$lo g_{10} 1 = 0$

発展 — 一歩先へ。 対数は「 $lo g$ 」という記号のせいで難しく見えるが、人間の感覚そのものでもある。

フェヒナーの法則。 人間の感覚は、刺激の対数に比例する。

$(感じる強さ) \propto lo g (刺激の強さ)$

音の大きさ。 $10$ 倍のエネルギーの音を、人は「 $2$ 倍うるさい」程度にしか感じない。だから音の単位デシベルは対数目盛だ。

$(音圧レベル) = 20 lo g_{10} \frac{P}{P _{0}} dB$

$20$ dB 増えると、音の強さは $10$ 倍。

地震のマグニチュード。 $M$ が $1$ 増えると、エネルギーは約 $32$ 倍。

$M = \frac{2}{3} lo g_{10} E + 定数$

$M 7$ と $M 9$ の差は $2$ だが、エネルギーは $1000$ 倍( $3 2^{2} \approx 1000$ )。 $2$ という小さな数字の裏に、 $1000$ 倍の差が隠れている — 対数目盛の恐ろしさだ。

星の明るさ(等級)、酸性度(pH)、味覚、視覚 — 人間の感覚は、ほとんどが対数的である。

なぜ人間はこう作られているのか。 「 $1$ 円と $2$ 円の差」と「 $100$ 万円と $100$ 万 $1$ 円の差」— 同じ $1$ 円でも、重みがまるで違う。変化の"割合"が問題であって、"差"ではない。

対数は、割合を差に変える。

$lo g (2 x) - lo g (x) = lo g 2 (x が何であっても、 2 倍なら同じ差)$

「 $2$ 倍」という割合が、どこでも同じ"距離"になる — これが対数目盛の本質だ。

人間の感覚が対数的なのは、広い範囲の刺激(ささやき声から爆音まで、 $100$ 万倍の幅)を、限られた神経で処理するための、進化の知恵かもしれない。

$lo g_{2} 8 = 3$ という計算は、私たちの脳が毎瞬やっていることの、数学的な表現なのである。

答

(1) $3$ (2) $- 2$ (3) $0$

別解

対数と指数は、 $1$ つの事実の"言い換え"にすぎない。 その対応表を作っておけば、どんな問題でも行き来できる。

変換の公式。

$lo g_{a} M = p ⟺ a^{p} = M$

左が対数の言葉、右が指数の言葉。 同じ内容を、 $2$ 通りに書いているだけだ。

実例で確かめる。

対数の式	指数の式	読み方
$lo g_{2} 8 = 3$	$2^{3} = 8$	$2$ を $3$ 乗すると $8$
$lo g_{3} \frac{1}{9} = - 2$	$3^{- 2} = \frac{1}{9}$	$3$ を $- 2$ 乗すると $\frac{1}{9}$
$lo g_{10} 1 = 0$	$1 0^{0} = 1$	$10$ を $0$ 乗すると $1$
$lo g_{5} 5 = \frac{1}{2}$	$5^{\frac{1}{2}} = 5$	$5$ を $\frac{1}{2}$ 乗すると $5$

$3$ つの数(底・指数・値)が登場し、対数と指数で"どれを主役にするか"が変わる。

$a^{p} = M \leftrightarrow lo g_{a} M = p$

「指数 $p$ を求めたい」ときに使うのが、対数。 主役の位置が違うだけである。

この対応から、 $2$ つの重要な公式が"当たり前"として出てくる。

公式1: $a^{l o g_{a} M} = M$

「 $a$ を『 $a$ を何乗すれば $M$ になるか』乗する」 — そりゃ $M$ になる。同語反復のような当たり前だ。

$2^{l o g_{2} 7} = 7$

公式2: $lo g_{a} a^{p} = p$

「 $a^{p}$ は $a$ の何乗か?」— $p$ 乗に決まっている。

$lo g_{2} 2^{5} = 5$

この $2$ つは、「指数と対数が互いに逆の操作である」ことの表明だ。 $x^{2} = x$ ( $x > 0$ )や、 $(x)^{2} = x$ と同じ関係にある。

そして、この「逆」という関係が、グラフに現れる。

$y = a^{x} と y = lo g_{a} x は、直線 y = x に関して対称$

逆関数どうしのグラフは、 $y = x$ の鏡で映し合う — 問題 $10$ で、この事実を確認する。

対数を「新しい難しい関数」だと思わないこと。 それは指数を裏返して見ているだけであり、まったく新しい内容ではない。

迷ったら、必ず指数の式に書き直す。 $lo g$ の計算で行き詰まる人の $9$ 割は、この翻訳を怠っている。

ポイント

$lo g_{a} M$ =「 $a$ を何乗で $M$ になるか」。
$lo g_{a} 1 = 0$ 、 $lo g_{a} a = 1$ は覚えておく。

よくある間違い

底と真数を取り違える( $lo g_{2} 8$ は「2を何乗すると8か」)
$lo g_{3} \frac{1}{9}$ を $2$ としてしまう(分数なので指数は負。 $- 2$ )
$lo g_{10} 1 = 1$ としてしまう(どんな底でも $lo g_{a} 1 = 0$ )