数学II / 指数関数・対数関数

常用対数と桁数

★★ 標準常用対数桁数

問題

$1 2^{10}$ は何桁の数か。ただし $lo g_{10} 2 = 0.3010$ 、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ とする。

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$12$ を素因数分解すれば、 $lo g_{10} 12$ は与えられた $2$ つの値の組み合わせで書ける。あとは桁数と常用対数の関係に乗せるだけ。

解答・解説

方針

$12 = 2^{2} \times 3$ と素因数分解して $lo g_{10} 12$ を与えられた値で表す。 $lo g_{10} 1 2^{10}$ の整数部分に $1$ を足せば桁数。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 桁数は常用対数の整数部分で決まる。 $N$ が $n$ 桁 ⟺ $1 0^{n - 1} \leq N < 1 0^{n}$ ⟺ $lo g_{10} N$ の整数部分が $n - 1$ 。

$12 = 2^{2} \times 3$ と分解して、与えられた値で

$lo g_{10} 1 2^{10} = 10 (2 lo g_{10} 2 + lo g_{10} 3) = 10 (0.6020 + 0.4771) = 10.791$

整数部分 $10$ に $1$ を足して $11$ 桁だ。

公式桁数

= [lo g_{10} N] + 1

、

lo g_{10} (2^{2} \cdot 3) = 2 lo g_{10} 2 + lo g_{10} 3

① $lo g_{10} 12$ を求める。 $12 = 2^{2} \times 3$ 。

$lo g_{10} 12 = 2 lo g_{10} 2 + lo g_{10} 3 = 2 \times 0.3010 + 0.4771 = 1.0792$

② $lo g_{10} 1 2^{10}$ を計算する。 指数は前に出せる。

$lo g_{10} 1 2^{10} = 10 lo g_{10} 12 = 10 \times 1.0792 = 10.792$

③ 整数部分に $1$ を足す。 $[10.792] = 10$ なので

$桁数 = 10 + 1 = 11$

まとめ:桁数は「素因数分解して $lo g$ を与えられた値で表す → $10$ 倍 → 整数部分 $+ 1$ 」。 $lo g_{10} N = 10. \dots$ は $N$ が $1 0^{10}$ 台(11桁)を意味する。

発展 — 一歩先へ。 別解の「小数部分が先頭の数字を決める」は、最高位の数字を問う発展問題そのものの解法だ。桁数と最高位はワンセットで出題される。

$2^{10} = 1024 \approx 1 0^{3}$ という近似( $lo g_{10} 2 \approx 0.3$ の由来)を知っていると、桁の見積もりが暗算でできる。情報科学で「2の10乗=約1000」(キロ)として日常的に使われている感覚である。

答

$11$ 桁

別解

「+1」を公式でなく、 $10$ のべきの挟み撃ちで毎回導くと、ズレの事故がなくなる。

$lo g_{10} 1 2^{10} = 10.791$ は

$1 2^{10} = 1 0^{10.791} = 1 0^{10} \times 1 0^{0.791}$

と読める。 $1 0^{0.791}$ は $1$ と $10$ の間の数だから、 $1 2^{10}$ は「 $1 0^{10}$ の何倍か( $1$ 〜 $10$ 倍)」— つまり $1 0^{10}$ 台の数で、 $11$ 桁だ。

おまけに、 $1 0^{0.791}$ の値を見積もると先頭の数字までわかる。 $lo g_{10} 6 = lo g_{10} 2 + lo g_{10} 3 = 0.7781$ 、 $lo g_{10} 7 \approx 0.845$ だから、 $0.791$ はその間。 $1 2^{10}$ は $6$ で始まる $11$ 桁の数である(実際 $1 2^{10} = 61917364224$ )。

小数部分が「先頭の数字」を、整数部分が「桁数」を担当する — 常用対数は数の姿を2つの部分で完全に記述している。

ポイント

$lo g_{10} 12$ は $2 lo g 2 + lo g 3$ で作る。
桁数 $= [lo g_{10} N] + 1$ 。

よくある間違い

桁数を $lo g$ の整数部分そのもの( $10$ 桁)としてしまう( $+ 1$ が要る)
$lo g_{10} 12$ の分解を $lo g_{10} 2 + lo g_{10} 3$ とする( $12 = 2^{2} \times 3$ で $2 lo g_{10} 2 + lo g_{10} 3$ )
$10.791$ を四捨五入して $11$ とし、たまたま合う(境界の値で破綻する処理)