指数方程式が異なる2解をもつ条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $4^x=(2^x{)}^2$ だから、$t=2^x$ とおけば $t$ の2次方程式 $t^2-at+a=0$ に化ける。

置換したら、必ず「$t$ の動く範囲」と「対応の個数」を確認する。$t=2^x$ は正の値だけを動き、$x$ と $t$ は1対1。だから「$x$ の異なる2実解」は「$t$ の異なる2つの正の解」に、そのまま翻訳される。

正の2解という条件は、判別式だけでは書けない。判別式(異なる2実解)に、解の和と積の符号(2解がともに正)を組み合わせる。

① 置換する。 $t=2^x>0$ とおくと

$$t^2-at+a=0$$

② 異なる2つの正の解の条件。 $g(t)=t^2-at+a$ について次の $3$ つ:

• 判別式 $a^2-4a>0⟺a<0$ または $a>4$、
• 解の和 $=a>0$、
• 解の積 $=a>0$。

③ 共通範囲。 $3$ つをすべて満たすのは $a>4$。

まとめ:$4^x=(2^x{)}^2$ で $t=2^x>0$ に置換。急所は「$x$ の解 ⟺ $t$ の正の解」だから、判別式だけでなく和・積の符号($t>0$ の保証)まで要ること。$a=4$ で $t=2$ の重解になり、これが境界。指数方程式と $2$ 次方程式の融合。

発展 — 一歩先へ。 $g(t)=t^2-at+a$ は $g(1)=1-a+a=1>0$ が $a$ によらず成り立つ。だから2解があるとき $t=1$ は必ず2解の外側にあり、軸の位置 $\frac{a}{2}>2>1$ と合わせると2解はともに $t>1$。したがって $x$ の2解はともに正、という追加情報までただで手に入る。定点 $g(1)=1$ のような「$a$ が消える場所」は、パラメータ問題の宝物だ。

別解

定数分離してグラフで数える(全部の $a$ が一望できる)。 $t^2-at+a=0$ を $a$ について解く。$t=1$ は解にならない($1-a+a=1\ne 0$)から、$t\ne 1$ で割ってよい:

$$a=\frac{t^2}{t-1}(t>0,t\ne 1)$$

右辺のグラフと水平線 $y=a$ の交点の個数が、そのまま $t$ の正の解の個数になる。

$0<t<1$ の枝は負の値しかとらない($t^2>0$、$t-1<0$)。$t>1$ の枝は $t=2$ で最小値 $4$ をとり、両側へ増えていく。

• $a>4$:右の枝と2回交わる → 正の解2個(求める場合)
• $a=4$:$t=2$ でだけ触れる → 1個(重解)
• $0\le a\le 4$($a=4$ を除く):どちらの枝とも交わらない → 0個
• $a<0$:左の枝と1回だけ交わる → 正の解1個($x$ の解も1個)

判別式・和・積の3条件が、グラフでは「水平線が右の枝を2回切る」の一言にまとまる。判別式は正なのに $a<0$ が落ちる理由も、目で見える。