数学II / 指数関数・対数関数

対数の性質

★ 基礎対数の性質

問題

$lo g_{2} 3 + lo g_{2} 6 - lo g_{2} 9$ の値を求めよ。

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対数の和と差は、真数のかけ算・わり算にまとめられる。 $3$ つを $1$ つの対数にまとめてから値を求めよう。

解答・解説

方針

対数の和は真数のかけ算、差はわり算にまとめられる。1つの対数にまとめてから計算する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 対数の $3$ つの性質を使う。

$lo g_{a} M + lo g_{a} N = lo g_{a} M N$

$lo g_{a} M - lo g_{a} N = lo g_{a} \frac{M}{N}$

$lo g_{a} M^{k} = k lo g_{a} M$

$lo g$ の足し算は、真数の掛け算。 $lo g$ の引き算は、真数の割り算。

$3$ つを $1$ つにまとめる。

$lo g_{2} 3 + lo g_{2} 6 - lo g_{2} 9 = lo g_{2} \frac{3 \times 6}{9} = lo g_{2} \frac{18}{9} = lo g_{2} 2$

$lo g_{2} 2 = 1$

$lo g_{2} 3$ や $lo g_{2} 6$ の値は、それぞれは無理数(汚い数)だ。 しかしまとめると、きれいに $1$ になる。

「バラバラの $lo g$ を、 $1$ つにまとめる」 — これが対数計算の基本方針である。

公式

lo g_{a} M N = lo g_{a} M + lo g_{a} N

、

lo g_{a} \frac{M}{N} = lo g_{a} M - lo g_{a} N

① 1つの対数にまとめる。 和はかけ算、差はわり算。

$lo g_{2} 3 + lo g_{2} 6 - lo g_{2} 9 = lo g_{2} \frac{3 \times 6}{9} = lo g_{2} \frac{18}{9} = lo g_{2} 2$

② 定義で値を出す。 $2^{1} = 2$ なので

$lo g_{2} 2 = 1$

まとめ:バラバラの対数は、和 → かけ算・差 → わり算で1つにまとめると真数が簡単になる。最後は定義で値を読む。

発展 — 一歩先へ。 「掛け算を足し算に変える」— この性質が、計算尺という道具を生んだ。

計算尺のしくみ。 $2$ 本の定規に、対数目盛(等間隔ではなく、 $1, 2, 3, \dots$ の位置が $lo g 1, lo g 2, lo g 3, \dots$ に対応する目盛)を刻む。

$2 \times 3$ を計算したいとき。 片方の定規の「 $1$ 」を、もう片方の「 $2$ 」に合わせ、そこから「 $3$ 」の位置を読む — $6$ が出る。

なぜか。 対数目盛では、位置が $lo g$ に対応している。定規をずらして足し合わせると

$lo g 2 + lo g 3 = lo g 6$

"長さの足し算"が、"数の掛け算"になる ✓

掛け算を、定規をずらすだけで実行できる。 電卓のない時代、技術者は計算尺を胸ポケットに入れて持ち歩いた。

アポロ $11$ 号の月着陸( $1969$ 年)でも、宇宙飛行士は計算尺を携行していた。 コンピュータが故障したときの、最後の砦として。

そして、対数の発明者ネイピア( $1614$ 年)は、こう書いている。

「計算に費やす無駄な時間と、避けがたい誤りほど、数学の学徒を悩ませるものはない。」

彼は $20$ 年かけて対数表を作り、天文学者たちの膨大な計算を救った。 ラプラスは「対数の発明は、天文学者の寿命を $2$ 倍にした」と讃えた。

現代でも、この性質は生きている。

コンピュータの内部では、大きな数の掛け算を「対数をとって足す」ことがある(浮動小数点数の指数部の足し算は、まさにこれだ)。

音量調節のつまみ、写真の露出、機械学習の損失関数(対数尤度) — 掛け算を足し算に変える対数の魔法は、今日も静かに働き続けている。

$lo g_{2} 3 + lo g_{2} 6 - lo g_{2} 9 = 1$ という小さな計算。 その裏に、 $400$ 年分の人類の計算の歴史がある。

答

$1$

別解

「なぜ $lo g$ の和が、真数の積になるのか」 — 指数法則の裏返しである。証明を知れば、公式は忘れられない。そして数値で検算しよう。

証明: 指数法則から導く。

$M = a^{p}, N = a^{q}$

とおく(つまり $p = lo g_{a} M$ 、 $q = lo g_{a} N$ )。

指数法則から

$M N = a^{p} \times a^{q} = a^{p + q}$

これを対数の言葉に翻訳する。

$lo g_{a} (M N) = p + q = lo g_{a} M + lo g_{a} N ✓$

証明終わり。

「指数を足すと、値が掛かる」 という指数法則を、裏返しただけだ。

$指数法則 a^{p} \times a^{q} = a^{p + q} ⟺ 対数の性質 lo g M N = lo g M + lo g N$

対数の性質は、すべて指数法則の言い換えである。

指数法則	対数の性質
$a^{p} \cdot a^{q} = a^{p + q}$	$lo g M N = lo g M + lo g N$
$\frac{a ^{p}}{a ^{q}} = a^{p - q}$	$lo g \frac{M}{N} = lo g M - lo g N$
$(a^{p})^{k} = a^{p k}$	$lo g M^{k} = k lo g M$

$3$ つとも、左を裏返せば右になる。 覚えるのは指数法則だけでよい。

数値で検算する。

$lo g_{2} 3 \approx 1.585, lo g_{2} 6 \approx 2.585, lo g_{2} 9 \approx 3.170$

$1.585 + 2.585 - 3.170 = 1.000 ✓$

ぴったり $1$ になった。 個々の値は無理数なのに、和が整数になる — まとめてから計算する意味がここにある。

もし $1$ つずつ小数で計算していたら、誤差が入るし、 $1$ という美しい答えも見えなかった。

さて、対数計算でいちばん多い誤りを、はっきりさせておこう。

$lo g (M + N) \neq = lo g M + lo g N$

これは絶対に成り立たない。 正しいのは

$lo g (M \times N) = lo g M + lo g N$

「掛け算が、足し算になる」のであって、「足し算が足し算になる」のではない。

確かめてみよう。 $lo g_{2} (2 + 2) = lo g_{2} 4 = 2$ 。

一方 $lo g_{2} 2 + lo g_{2} 2 = 1 + 1 = 2$ 。

たまたま一致した! — が、これは偶然だ。 $lo g_{2} (4 + 4) = lo g_{2} 8 = 3$ に対し、 $lo g_{2} 4 + lo g_{2} 4 = 2 + 2 = 4$ 。今度は違う。

$1$ つの例で確かめただけでは、公式の真偽は分からない。 反例を探すことが、公式を疑うということだ。

対数の中の足し算は、"外に出せない"。 これが、 $lo g$ を扱ううえで最も重要な戒めである。

ポイント

和はかけ算、差はわり算で1つの対数に。
$lo g_{a} a = 1$ 。

よくある間違い

$lo g$ の和を、真数の和にしてしまう( $lo g M + lo g N = lo g M N$ で、積になる)
引き算を掛け算にしてしまう( $lo g M - lo g N = lo g \frac{M}{N}$ で、割り算)
$lo g_{2} 2 = 1$ を $0$ や $2$ としてしまう(底と真数が同じなら必ず $1$ )