連立した指数方程式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 指数の連立方程式。$x,y$ が指数の肩に乗ったままでは扱えない。

$2^x$ と $2^y$ をひとかたまりの文字に置き換える。$X=2^x$、$Y=2^y$($X,Y>0$)。

すると $X+Y=6$。もう $1$ 本は $2^{x+y}=2^x\cdot 2^y=XY=8$。

「和 $6$・積 $8$ の $2$ 数」なので、$X,Y$ は $2$ 次方程式 $t^2-6t+8=0$ の解。

① 文字におく。 $X=2^x,Y=2^y$($X,Y>0$)とすると

$$X+Y=6,XY=2^{x+y}=8$$

② $2$ 次方程式にする。 $X,Y$ は和 $6$・積 $8$ の $2$ 数だから

$$t^2-6t+8=0⟹(t-2)(t-4)=0⟹t=2,4$$

ともに正なので $X,Y>0$ を満たす。

③ $x,y$ に戻す。 $(X,Y)=(2,4)$ または $(4,2)$。$2^x=2\Rightarrow x=1$、$2^x=4\Rightarrow x=2$ より

$$(x,y)=(1,2),(2,1)$$

まとめ:指数の連立は「$2^x=X$ とおいて和と積 → $2$ 次方程式」。$2^{x+y}=XY$ となるのが要。$X,Y>0$ の確認を経て指数に戻す。対称なので $2$ 組の解が出る。

発展 — 一歩先へ。 「和と積が分かれば、その $2$ 数は $t^2-(\text{和})t+(\text{積})=0$ の解」は対称式の要。$2^x+2^y$ と $2^x\cdot 2^y$ という基本対称式に置き換えたので、$X,Y$ を個別に追わずに $2$ 次方程式$1$本で決まる。連立を対称式に翻訳する典型だ。

別解

別解 — $2$ の累乗を目算で見つける(苦手な人向けの直感ルート)。 $2^x$ と $2^y$ は「$2$ の累乗」。足して $6$、掛けて $8$ になる $2$ の累乗の組を探す。

$2$ の累乗は $1,2,4,8,\dots$。この中で「和 $6$・積 $8$」になるのは $2$ と $4$。実際 $2+4=6$、$2\times 4=8$。

だから $\{2^x,2^y\}=\{2,4\}$。$2^x=2$ なら $x=1$、$2^x=4$ なら $x=2$。

組み合わせて $(x,y)=(1,2),(2,1)$。$X=2^x,Y=2^y$ の置き換えで $2$ 次方程式を解く本解と、同じ $2$ 数 $\{2,4\}$ にたどり着く。小さい累乗どうしの和と積なら、目算で候補を見つけられる。