数学II / 指数関数・対数関数

対数関数のグラフ

★ 基礎対数関数のグラフ

問題

関数 $y = lo g_{2} x$ について、定義域を答えよ。また、増加関数か減少関数かを答えよ。

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対数に入れられる数(真数)には制限があった。それがそのまま定義域になる。増加か減少かは、底と $1$ の大小で決まる。

解答・解説

方針

$y = lo g_{a} x$ ( $a > 1$ )のグラフの形を思い出す。真数 $x$ は正でなければならず、 $a > 1$ なので右上がり(増加)。 $(1, 0)$ を通る。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $y = lo g_{2} x$ — この関数は、 $y = 2^{x}$ の逆関数である。

逆関数の性質から、答えが読める。

元の関数 $y = 2^{x}$ :

定義域: 実数全体
値域: $y > 0$

逆関数 $y = lo g_{2} x$ では、定義域と値域が入れかわる。

定義域: $x > 0$ (元の値域)
値域: 実数全体(元の定義域)

「真数は正でなければならない」 — これが定義域 $x > 0$ の正体だ。 $2$ を何乗しても正の数にしかならないのだから、負の数や $0$ の対数は存在しない。

増減も、逆関数に引き継がれる。

$y = 2^{x}$ が増加関数なら、その逆関数 $y = lo g_{2} x$ も増加関数。

( $y = x$ で折り返しても、"右上がり"は"右上がり"のまま。)

公式

y = lo g_{a} x

(

a > 1

):定義域

x > 0

、増加関数、点

(1, 0)

を通る

$y = lo g_{2} x$ は $a = 2 > 1$ の対数関数。

定義域:対数は真数が正のときだけ定義される。よって $x > 0$ 。
増減: $a = 2 > 1$ なので $x$ が増えると $y$ も増える。増加関数。
$lo g_{2} 1 = 0$ なので点 $(1, 0)$ を通る。

y=log_2 x:定義域 x>0、増加、(1,0)を通る

発展 — 一歩先へ。 指数関数と対数関数の「増え方」を比べると、天と地ほどの差がある。

$x$	$10$	$100$	$1000$	$1 0^{6}$
$2^{x}$	$1024$	$1 0^{30}$	$1 0^{301}$	宇宙の原子数を超える
$lo g_{2} x$	$3.3$	$6.6$	$10.0$	$20$

指数は爆発し、対数は這うように増える。

$x$ が $100$ 万になっても、 $lo g_{2} x$ はたった $20$ 。 これほど遅い増加は、他にない。

この「遅さ」が、コンピュータ科学では"速さ"を意味する。

アルゴリズムの計算量を考えよう。 $n$ 個のデータから、目的のものを探す。

線形探索( $1$ つずつ調べる): $n$ 回 — $100$ 万個なら $100$ 万回
二分探索(半分に絞り込む): $lo g_{2} n$ 回 — $100$ 万個でも、たった $20$ 回

$100$ 万回 vs $20$ 回。 この差は、 $1$ 時間かかる処理が $0.07$ 秒で終わるほどの違いだ。

二分探索とは。 辞書で単語を引くときの動作そのものである。まん中を開いて、目的の語が前か後ろかを判断し、半分を捨てる。 これを繰り返す。

$100 万 \to 50 万 \to 25 万 \to \dots \to 1$

$20$ 回で $1$ になる( $2^{20} \approx 100$ 万)。

「半分ずつ捨てる」→「 $lo g$ 回で終わる」 — これがアルゴリズム設計の黄金律だ。

データベースの検索、ソート、ファイルシステム、GPS の経路探索 — 高速なアルゴリズムのほとんどが、 $lo g$ の計算量を達成することを目標にしている。

「 $lo g n$ で済む」は、コンピュータ科学における最高の褒め言葉のひとつである。

対数関数の"遅さ"が、現代の情報技術の"速さ"を作っている。 数学の性質は、思わぬところで価値に変わる。

答

定義域: $x > 0$ 、増加関数

別解

「逆関数」という関係を、グラフで完全に理解しよう。 $2$ つの関数が、 $1$ 枚の鏡で結ばれている。

値の表を、 $2$ つ並べる。

$y = 2^{x}$ :

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$

$y = lo g_{2} x$ :

$x$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$
$y$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$

$x$ と $y$ が、そっくり入れかわっている!

$(1, 2) ⟷ (2, 1)$ $(3, 8) ⟷ (8, 3)$

座標を入れかえた点 — それは直線 $y = x$ に関する対称点である(座標の対称移動で学んだ通り)。

$y = 2^{x} と y = lo g_{2} x のグラフは、 y = x に関して対称$

この $1$ 枚の鏡が、すべてを説明する。

$y = 2^{x}$	鏡を通ると	$y = lo g_{2} x$
定義域: 実数全体	→	値域: 実数全体
値域: $y > 0$	→	定義域: $x > 0$
$x$ 軸が漸近線	→	$y$ 軸が漸近線
点 $(0, 1)$ を通る	→	点 $(1, 0)$ を通る
増加関数	→	増加関数

「対称に映すと、 $x$ と $y$ の役割が入れかわる」 — それだけのことだ。

$y$ 軸が漸近線になる、という性質を確かめよう。

$x$ を $0$ に近づけると

$lo g_{2} 0.1 \approx - 3.3, lo g_{2} 0.01 \approx - 6.6, lo g_{2} 0.001 \approx - 10$

どこまでも下へ落ちていく( $- \infty$ へ)。 しかし $x = 0$ には決して届かない — $y$ 軸は、触れられない壁だ。

これは、 $y = 2^{x}$ で「 $x$ 軸に近づくが届かない」ことの、鏡像である。

そして、逆関数の関係は「操作を打ち消し合う」ことも意味する。

$lo g_{2} (2^{5}) = 5, 2^{l o g_{2} 7} = 7$

「 $2$ 乗する」と「 $lo g_{2}$ をとる」は、互いに打ち消し合う。 服を着て、脱げば、元に戻るように。

この"打ち消し合い"が、方程式を解くときの武器になる。

$2^{x} = 7 ⟹ lo g_{2} (2^{x}) = lo g_{2} 7 ⟹ x = lo g_{2} 7$

$lo g$ をとることで、指数の肩から $x$ が降りてきた。 逆関数とは、閉じ込められた変数を解放する鍵なのだ。

ポイント

対数の定義域は真数 $> 0$ ( $x > 0$ )。
$a > 1$ は増加、 $0 < a < 1$ は減少。どちらも $(1, 0)$ を通る。

よくある間違い

定義域を実数全体としてしまう(真数は正なので $x > 0$ )
値域を $y > 0$ としてしまう(対数の値は負にも $0$ にもなる。値域は実数全体)
$x = 0$ でも値があると思ってしまう( $y$ 軸が漸近線で、 $lo g_{2} 0$ は定義されない)