数学II / 指数関数・対数関数

指数法則(0・負の指数)

★ 基礎指数法則

問題

次の値を求めよ。

(1) $(\frac{1}{2})^{- 3}$

(2) $2^{0} \times 2^{- 2}$

(3) $\frac{3 ^{5}}{3 ^{2}}$

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マイナス乗が何を意味するか(逆数との関係)を思い出すのが第一歩。かけ算・わり算で指数がどう動くかは、指数法則にまかせる。

解答・解説

方針

$a^{0} = 1$ 、 $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ 、かけ算は指数を足す、わり算は引く。この4つの指数法則で計算する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 指数の計算は、 $3$ つの法則で全部片づく。

$a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}, \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}, (a^{m})^{n} = a^{mn}$

そして、 $2$ つの約束。

$a^{0} = 1, a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$

(1) 負の指数は「逆数」。

$(\frac{1}{2})^{- 3} = (\frac{2}{1})^{3} = 8$

分数の負の指数は、ひっくり返して正の指数にする。

(2) $2^{0} = 1$ 、 $2^{- 2} = \frac{1}{4}$ 。掛けて $\frac{1}{4}$ 。

(3) 指数の引き算。

$\frac{3 ^{5}}{3 ^{2}} = 3^{5 - 2} = 3^{3} = 27$

「同じ底なら、指数を足し引きする」 — これが指数計算の核心である。

公式指数法則:

a^{0} = 1

、

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

、

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

、

\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}

(1) マイナスの指数は逆数にする。 $\frac{1}{2}$ の逆数は $2$ 。

$(\frac{1}{2})^{- 3} = 2^{3} = 8$

(2) かけ算なので指数を足す。 $2^{0} = 1$ にも注意。

$2^{0} \times 2^{- 2} = 2^{0 + (- 2)} = 2^{- 2} = \frac{1}{4}$

(3) わり算なので指数を引く。

$\frac{3 ^{5}}{3 ^{2}} = 3^{5 - 2} = 3^{3} = 27$

発展 — 一歩先へ。 指数を拡張していく道のりは、まだ続く。

指数	意味	例
自然数 $n$	$n$ 回掛ける	$2^{3} = 8$
$0$	$1$	$2^{0} = 1$
負の整数	逆数	$2^{- 2} = \frac{1}{4}$
有理数 $\frac{m}{n}$	累乗根	$2^{1/2} = 2$
無理数	極限	$2^{2} = ?$
複素数	オイラーの公式	$2^{i} = ?$

「 $2$ を $2$ 回掛ける」とは、いったい何を意味するのか。

答え: 有理数で近似して、その極限をとる。

$2 = 1.41421356 \dots$

$2^{1.4}, 2^{1.41}, 2^{1.414}, 2^{1.4142}, \dots$

この数列は、ある値に収束する。 その極限を $2^{2}$ と定義する( $\approx 2.6651$ )。

「掛ける回数」という素朴な意味は、とっくに失われている。 それでも指数法則は成り立ち続ける — だから拡張する価値がある。

そして、複素数の指数。

$e^{i θ} = cos θ + i sin θ$

オイラーの公式。 ここで「 $e$ を $i θ$ 回掛ける」などと考えてはいけない。指数関数の性質(微分すると自分自身になる)を保つように定義すると、必然的にこの形になるのだ。

そして $θ = π$ とすると

$e^{iπ} = - 1 ⟹ e^{iπ} + 1 = 0$

オイラーの等式。 数学の $5$ つの重要な定数( $e$ 、 $i$ 、 $π$ 、 $1$ 、 $0$ )が、 $1$ 本の式に集まる — 数学で最も美しい式と呼ばれる。

$2^{0} = 1$ から始まった拡張の旅が、ここまで来た。 「規則を保つように定義を広げる」という一手が、これほど遠くまで連れて行く。

答

(1) $8$ (2) $\frac{1}{4}$ (3) $27$

別解

「 $2^{0} = 1$ 」も「 $2^{- 2} = \frac{1}{4}$ 」も、なぜそう決まっているのか。 天下り式に覚えるのではなく、必然性を見よう。理由が分かれば、二度と忘れない。

表を作って、指数を $1$ ずつ下げていく。

$2^{3}$	$2^{2}$	$2^{1}$	$2^{0}$	$2^{- 1}$	$2^{- 2}$
$8$	$4$	$2$	$?$	$?$	$?$

規則を読む。 右へ $1$ つ進むごとに(指数が $1$ 減るごとに)、値が半分になっている。

$8 \to 4 \to 2 \to \dots$

この規則を、そのまま続けたらどうなるか。

$2 \div 2 = 1 ⟹ 2^{0} = 1$

$1 \div 2 = \frac{1}{2} ⟹ 2^{- 1} = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} \div 2 = \frac{1}{4} ⟹ 2^{- 2} = \frac{1}{4}$

表が完成した。

$2^{3}$	$2^{2}$	$2^{1}$	$2^{0}$	$2^{- 1}$	$2^{- 2}$
$8$	$4$	$2$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

$2^{0} = 1$ も、 $2^{- 2} = \frac{1}{4}$ も、"表を自然に延長した結果"だった。

これが「定義の拡張」の作法である。

$今まで通用していた規則が、拡張後も成り立つように決める$

指数法則で確かめる。 $a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}$ という法則を、 $m = n$ の場合にも使いたい。

$\frac{2 ^{3}}{2 ^{3}} = 2^{3 - 3} = 2^{0}$

左辺は明らかに $1$ 。 だから $2^{0} = 1$ でなければならない — 法則を守るために、そう決めるしかない。

負の指数も同様。

$\frac{2 ^{1}}{2 ^{3}} = 2^{1 - 3} = 2^{- 2}$

左辺は $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ 。 だから $2^{- 2} = \frac{1}{4}$ ✓

「 $0$ 乗は $1$ 個も掛けないから $0$ じゃないの?」という素朴な疑問への答えも、ここにある。

$2^{3}$ を「 $2$ を $3$ 回掛ける」と読む限り、 $2^{0}$ は意味をなさない。 そこで読み方を変えるのだ。

$2^{n} = 1 \times n 回 2 \times 2 \times \dots \times 2$

「 $1$ に、 $2$ を $n$ 回掛ける」 と読めば、 $n = 0$ は「 $1$ に何も掛けない」= $1$ ✓ 意味が通る。

同じ発想は、他でも使われている。

$0! = 1$ ( $n! = n \times (n - 1)!$ という規則を保つため)
空集合の要素の和 $= 0$ 、積 $= 1$ (何も足さなければ $0$ 、何も掛けなければ $1$ )

「規則が壊れないように、境界の値を決める」 — 数学は、こうやって世界を広げてきた。 $2^{0} = 1$ は、恣意的な約束ではなく、必然の帰結なのだ。

ポイント

$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ (マイナス指数は逆数)。
かけ算は指数を足す、わり算は引く。

よくある間違い

$2^{0} = 0$ としてしまう( $a^{0} = 1$ )
$2^{- 2} = - 4$ としてしまう(負の指数は逆数。 $\frac{1}{4}$ )
$(\frac{1}{2})^{- 3}$ で逆数にするのを忘れる(ひっくり返して $2^{3} = 8$ )