数学II / 指数関数・対数関数

小数首位(0が続く個数)

★★ 標準常用対数小数首位

問題

$(\frac{1}{3})^{10}$ を小数で表すと、小数第何位に初めて $0$ でない数字が現れるか。ただし $lo g_{10} 3 = 0.4771$ とする。

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『小数第何位に初めて数字が現れるか』も、常用対数の値から読める — 桁数のときの考え方を $1$ より小さい数へ広げてみよう。まず $lo g_{10}$ の値を計算する。

解答・解説

方針

$lo g_{10}$ をとる。値が $1$ より小さいので $lo g_{10}$ は負。 $- 5 < lo g_{10} N < - 4$ なら、 $N$ は $1 0^{- 5}$ 台なので、小数第 $5$ 位で初めて $0$ でない数字が出る。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $1$ より小さい正の数では、常用対数が負になる。その整数部分の読み方が今日の主題だ。

$lo g_{10} (\frac{1}{3})^{10} = - 10 lo g_{10} 3 = - 4.771$ 。

$- 5 < - 4.771 < - 4$ だから、 $N = 1 0^{- 4.771}$ は $1 0^{- 5}$ 台。小数第 $5$ 位で初めて $0$ でない数字が現れる。「 $- 5$ と $- 4$ の間」という負の数の挟み方を、数直線で確かめながら進めるのが安全だ。

公式

1 0^{- k} ≦ N < 1 0^{- (k - 1)}

のとき、初めて

0

でない数字は小数第

k

位

① $lo g_{10}$ をとる。

$lo g_{10} (\frac{1}{3})^{10} = - 10 lo g_{10} 3 = - 10 \times 0.4771 = - 4.771$

② どの $1 0^{- k}$ の間かを見る。 $- 4.771$ は $- 5$ と $- 4$ の間。

$- 5 < - 4.771 < - 4 \Rightarrow 1 0^{- 5} < N < 1 0^{- 4}$

③ 位を読む。 $1 0^{- 5}$ 台なので、初めて $0$ でない数字は小数第 $5$ 位に現れる。

まとめ:小数首位は「 $lo g_{10}$ が $- 5$ 台( $- 5$ と $- 4$ の間)なら第 $5$ 位」。桁数の話の裏返しで、負の指数の整数部分を見ればよい。実際 $(\frac{1}{3})^{10} = \frac{1}{59049} = 0.00001 \dots$ で、確かに第 $5$ 位から始まる。

発展 — 一歩先へ。 別解の対応(分母が $n$ 桁 ⟺ 逆数は第 $n$ 位に初めて数字)は、 $3^{10} = 59049$ のように分母が $1 0^{n - 1}$ ちょうどでない限り成り立つ。境界( $\frac{1}{10000}$ など)だけ例外になる — 端の検分の癖はここでも生きる。

「とても小さい数の大きさを桁で語る」のは、原子の大きさ( $1 0^{- 10}$ m)や確率の見積もりなど、科学の記法(浮動小数点)の基礎そのものだ。

答

小数第 $5$ 位

別解

逆数の「桁数」に翻訳すると、前問の知識がそのまま使える。

$(\frac{1}{3})^{10} = \frac{1}{3 ^{10}}$ 。分母の桁数を調べよう。

$lo g_{10} 3^{10} = 4.771$ だから、 $3^{10}$ は $5$ 桁の数(実際 $3^{10} = 59049$ )。

$5$ 桁の数の逆数は、 $\frac{1}{10000}$ より小さく $\frac{1}{100000}$ 以上 — つまり小数第 $5$ 位で初めて $0$ でない数字が出る。

$\frac{1}{59049} = 0.0000169 \dots$

確かに第 $5$ 位に $1$ が現れている。「 $n$ 桁の数の逆数は、小数第 $n$ 位に初めて数字が立つ」という対応で、桁数の問題と小数首位の問題は同じ1つの問題の表裏になる。

ポイント

$lo g_{10} N$ が負のとき、その値がどの整数の間かを見る。
$1 0^{- 5}$ 台 → 小数第 $5$ 位。

よくある間違い

$- 4.771$ の整数部分の挟み方を誤る( $- 5$ と $- 4$ の間)
桁数の公式( $+ 1$ )と小数首位の読みを混同して第 $4$ 位と答える
$- 10 lo g_{10} 3$ の符号を落として正の数として処理する