数学II / 指数関数・対数関数

指数関数の最小値(置き換え)

★★★★ 難関最大・最小置き換え指数

問題

関数 $y = 4^{x} - 2^{x + 2} + 5$ の最小値を求めよ。

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$4^{x} = (2^{x})^{2}$ 、 $2^{x + 2} = 4 \cdot 2^{x}$ 。 $t = 2^{x}$ とおくと $t$ の $2$ 次関数。ただし $t > 0$ の範囲に注意して最小を求める。

解答・解説

方針

$4^{x} = (2^{x})^{2}$ 、 $2^{x + 2} = 4 \cdot 2^{x}$ に注意して $t = 2^{x}$ ( $t > 0$ )とおくと、 $y = t^{2} - 4 t + 5$ という $t$ の $2$ 次関数になる。 $t > 0$ の範囲で平方完成して最小を調べる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $y = 4^{x} - 2^{x + 2} + 5$ 。指数がいくつも出てくるが、じつは全部 $2^{x}$ で書ける。

$4^{x} = (2^{x})^{2}$ 、 $2^{x + 2} = 4 \cdot 2^{x}$ 。共通の $2^{x}$ が見える。

そこで $t = 2^{x}$ とおくと $y = t^{2} - 4 t + 5$ 。見慣れた $2$ 次関数だ。

ただし $t = 2^{x}$ は必ず正。 $t > 0$ の範囲で最小を調べるのが急所。

重要

t = 2^{x}

とおくと

t > 0

。指数の最大最小は、この

t

の範囲つきで

2

次関数として調べる

① $2^{x}$ の式にそろえる。 $4^{x} = (2^{x})^{2}$ 、 $2^{x + 2} = 2^{2} \cdot 2^{x} = 4 \cdot 2^{x}$ 。 $t = 2^{x}$ ( $t > 0$ )とおくと

$y = t^{2} - 4 t + 5$

② 平方完成する。

$y = (t - 2)^{2} + 1$

t=2^x(>0)とおくと y=(t−2)²+1。頂点 t=2 は t>0 に入り、最小 1(x=1)

③ 最小を決める。 頂点 $t = 2$ は範囲 $t > 0$ に入るので、 $t = 2$ で最小 $y = 1$ 。このとき $2^{x} = 2$ より $x = 1$ 。

まとめ:指数の最大最小は「 $t = 2^{x}$ で $2$ 次関数化 + $t > 0$ の範囲」。 $4^{x} = (2^{x})^{2}$ 、 $2^{x + 2} = 4 \cdot 2^{x}$ の書きかえが要。頂点 $t = 2$ が $t > 0$ に入るので、そのまま最小 $1$ 。もし頂点が範囲外なら端で最小になる。

発展 — 一歩先へ。 $t = 2^{x}$ のように「置き換えて $2$ 次関数に落とす」とき、置換後の変数の範囲( $t > 0$ )を必ず引き継ぐ。頂点がその範囲の外なら、最小は端でとる。指数・対数・三角の最大最小は、この「置換 $+$ 変域」が共通の骨格だ。

答

$x = 1$ のとき最小値 $1$

別解

別解 — 完全平方を一目で見抜く(得意な人向けの視点)。 $y = 4^{x} - 2^{x + 2} + 5$ を $2^{x}$ で書き直すと $y = (2^{x})^{2} - 4 \cdot 2^{x} + 5$ 。

$X^{2} - 4 X + 5$ の形は、 $X^{2} - 4 X + 4 = (X - 2)^{2}$ に $+ 1$ したもの。つまり

$y = (2^{x} - 2)^{2} + 1.$

$2$ 乗は必ず $0$ 以上だから、 $y \geq 1$ 。等号は $2^{x} - 2 = 0$ 、すなわち $2^{x} = 2$ で $x = 1$ のとき。

最小値は $1$ 。 $t = 2^{x}$ とおいて平方完成する本解と同じだが、 $X^{2} - 4 X + 5 = (X - 2)^{2} + 1$ と完全平方をその場で見抜けば、置き換えの手続きなしに最小が読める。 $2^{x} = 2$ が解ける( $x = 1$ )ので、頂点にちゃんと届く点も確認しておく。

ポイント

$t = 2^{x} > 0$ で $y = t^{2} - 4 t + 5 = (t - 2)^{2} + 1$ 。
頂点 $t = 2$ は範囲内 → 最小 $1$ ( $x = 1$ )。

よくある間違い

$4^{x} = (2^{x})^{2}$ 、 $2^{x + 2} = 4 \cdot 2^{x}$ の書き換えに気づかず、 $t = 2^{x}$ の $2$ 次にできない。
平方完成の頂点 $t = 2$ が $t > 0$ の範囲にあるか確認せず、いきなり最小と決める。
$t = 2^{x} = 2$ から $x = 1$ を戻すのを忘れ、 $t = 2$ のまま「 $x = 2$ 」と答える。