有理数の指数と累乗根

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分数の指数は、累乗根を意味する。

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

「分母は根っこ($n$ 乗根)、分子はべき($m$ 乗)」 — この対応を押さえる。

しかし、根号のまま計算するのは大変だ。$2$ のべきに統一するのが、この単元の必勝法である。

(1) $8=2^3$ に注目する。

$$8^{\frac{2}{3}}=(2^3{)}^{\frac{2}{3}}=2^{3\times \frac{2}{3}}=2^2=4$$

指数どうしの掛け算で、$3$ と $\frac{2}{3}$ が約分される。 根号を書く必要すらない。

(2) $\sqrt[3]{16}=2^{4/3}$、$\sqrt[3]{4}=2^{2/3}$。掛けると指数が足されて $2^2=4$。

(3) $16=2^4$ だから $16^{-\frac{1}{4}}=2^{-1}=\frac{1}{2}$。

「底を素因数分解して、$2$ のべきに揃える」 — これだけで全問解ける。

(1) $8=2^3$ に直すと、指数どうしのかけ算になる。

$$8^{\frac{2}{3}}=(2^3{)}^{\frac{2}{3}}=2^{3\times \frac{2}{3}}=2^2=4$$

(2) 累乗根の積は中身をまとめる。

$$\sqrt[3]{16}\times \sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{16\times 4}=\sqrt[3]{64}=4$$

(3) $16=2^4$、マイナス指数は逆数。

$$16^{-\frac{1}{4}}=(2^4{)}^{-\frac{1}{4}}=2^{-1}=\frac{1}{2}$$

発展 — 一歩先へ。 分数指数を使うと、$1$ 年で $10\%$ 増える利率は半年でいくつか — この問いに正しく答えられる。

素朴な誤り: 「半年なら $5\%$ だろう」

正しくは: $1$ 年で $1.1$ 倍になるということは、半年では $1.1^{\frac{1}{2}}=\sqrt{1.1}\approx 1.0488$ 倍。

約 $4.88\%$ であって、$5\%$ ではない。

なぜか。 半年で $5\%$ ずつ増えると、$1$ 年では

$$1.05\times 1.05=1.1025$$

$10.25\%$ 増えてしまう — 複利のせいで、多すぎるのだ。

「掛け算の世界では、半分にするのは"割る $2$"ではなく"平方根"」 — これが指数的な変化の直感だ。

同じ計算が、いろいろな場面で必要になる。

放射性物質の半減期。 半減期 $T$ の物質は、$T$ 時間で半分になる。では $\frac{T}{2}$ 時間では?

$${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.707$$

約 $70.7\%$ 残る($75\%$ ではない)。

音楽の平均律。 $1$ オクターブ($=$ 振動数 $2$ 倍)を $12$ 音に等分するには、$1$ 音あたり $2^{\frac{1}{12}}\approx 1.0595$ 倍にする。

$${\left(2^{\frac{1}{12}}\right)}^{12}=2✓$$

ピアノの隣り合う鍵盤の振動数の比が、$\sqrt[12]{2}$ という無理数なのだ。バッハの時代に確立されたこの調律法が、$12$ 乗根という数学の上に成り立っている。

「等分する」とき、足し算的に等分するのか、掛け算的に等分するのか。 指数の世界では、後者になる — 分数指数は、その言語である。

別解

根号のまま計算するルートも見ておこう。分数指数に慣れないうちは、こちらのほうが安心できる。そして「なぜ $a^{1/2}=\sqrt{a}$ なのか」を確かめる。

根号ルートで解く。

(1) $8^{\frac{2}{3}}$

$$8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4$$

または、順番を変えて

$$8^{\frac{2}{3}}={\left(\sqrt[3]{8}\right)}^2=2^2=4$$

どちらでも同じ。 ただし後者のほうが楽だ($64$ の $3$ 乗根より、$8$ の $3$ 乗根のほうが計算しやすい)。

「先に根をとってから、べきにする」 — 数が小さく保てる。

(2) $\sqrt[3]{16}\times \sqrt[3]{4}$

同じ $3$ 乗根どうしは、中身を掛けてよい。

$$\sqrt[3]{16}\times \sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{16\times 4}=\sqrt[3]{64}=4$$

$\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$ — 平方根のときと同じ規則だ。

(3) $16^{-\frac{1}{4}}$

$$16^{-\frac{1}{4}}=\frac{1}{16^{\frac{1}{4}}}=\frac{1}{\sqrt[4]{16}}=\frac{1}{2}$$

負の指数 → 逆数、分数指数 → 累乗根。$2$ 段階で処理する。

さて、「なぜ $a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}$ なのか」。

指数法則を守るように決めた — また、この理屈である。

$${\left(a^{\frac{1}{2}}\right)}^2=a^{\frac{1}{2}\times 2}=a^1=a$$

「$2$ 乗すると $a$ になる数」 — それは $\sqrt{a}$ に他ならない ✓

同じく

$${\left(a^{\frac{1}{3}}\right)}^3=a^1=a⟹a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a}$$

指数法則 $(a^m{)}^n=a^{mn}$ を保とうとすると、分数指数は累乗根でしかありえない。

どちらのルートを使うべきか。

慣れたら分数指数、迷ったら根号。 ただし、この先(対数、微分積分)では分数指数が標準になる。$\sqrt{x}=x^{1/2}$ と書けないと、微分の公式が使えない。

$${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

根号のままでは、この計算はできない。 分数指数は、未来への投資である。