数学II / 指数関数・対数関数

指数不等式(置き換え)

★★ 標準指数不等式置き換え

問題

不等式 $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 ≦ 0$ を解け。

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置きかえで $2$ 次不等式に。文字の範囲が出たら指数の世界に戻す — 戻すときの不等号の向きは底の大きさで決まる。置きかえた文字が正であることも忘れずに。

解答・解説

$t = 2^{x}$ とおいて $t$ の2次不等式にする。 $t$ の範囲を出したあと、 $t = 2^{x}$ に戻して $x$ の範囲に直す。このとき底 $2 > 1$ なので不等号はそのまま。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 前問と同じ $t = 2^{x}$ ( $t > 0$ )の置きかえで、今度は2次不等式になる。

$t^{2} - 5 t + 4 \leq 0$ から $(t - 1) (t - 4) \leq 0$ 、つまり $1 \leq t \leq 4$ 。 $t > 0$ とも両立している。

仕上げは $x$ への翻訳。 $2^{0} \leq 2^{x} \leq 2^{2}$ で、底 $2$ は $1$ より大きい(増加関数)から、不等号の向きはそのまま $0 \leq x \leq 2$ 。「戻すときの向き」の判断が最後の関門だ。

重要

t = 2^{x}

(

t > 0

)で2次不等式にし、

t

の範囲を

x

に戻す

① $t = 2^{x}$ で置き換える。

$t^{2} - 5 t + 4 ≦ 0$

② 因数分解して $t$ の範囲を出す。

$(t - 1) (t - 4) ≦ 0 \Rightarrow 1 ≦ t ≦ 4$

(この範囲はすべて $t > 0$ を満たすので、置き換えの条件もクリア。)

③ $t = 2^{x}$ に戻す。 $1 = 2^{0}$ 、 $4 = 2^{2}$ 。底 $2 > 1$ なので不等号はそのまま。

$2^{0} ≦ 2^{x} ≦ 2^{2} \Rightarrow 0 ≦ x ≦ 2$

t=2^x とおくと t²−5t+4=(t−1)(t−4)≤0 ⟺ 1≤t≤4 ⟺ 0≤x≤2

まとめ:置き換えで $t$ の範囲を出したら、 $t = 2^{x}$ に戻して $x$ にする。戻すときの不等号は、底 $> 1$ ならそのまま・底 $< 1$ なら逆。

発展 — 一歩先へ。 「単調増加なら向きそのまま、単調減少なら反転」という戻しの原則は、対数不等式(底が $1$ より小さい場合)でこの単元のもう1つの山場になる。指数と対数、同じ原則が2回試される。

$t$ の不等式の解が $t \leq - 1$ のような「 $t > 0$ と交わらない」区間になったら、対応する $x$ は存在せず「解なし」。置きかえの範囲との共通部分をとる、という集合の操作が常に裏で動いている。

答

$0 ≦ x ≦ 2$

最後の「 $t$ から $x$ へ戻す」段を、グラフの絵で確かめる習慣をつけたい。

$y = 2^{x}$ のグラフは、右上がりの単調増加。この絵の上で「 $2^{x}$ が $1$ 以上 $4$ 以下」の部分に印をつける。

高さ $1$ に対応する $x$ は $0$ 。高さ $4$ に対応する $x$ は $2$ 。単調増加だから、高さの区間 $[1, 4]$ と横位置の区間 $[0, 2]$ が、順序を保ったまま1対1に対応する。

$1 \leq 2^{x} \leq 4 ⟺ 0 \leq x \leq 2$

もし底が $\frac{1}{2}$ なら、グラフは右下がりで、高さの区間と横位置の区間の対応が逆転する — 不等号の反転の正体は、この絵の傾きの向きだ。「戻す前にグラフを1本描く」だけで、反転の要不要を暗記から観察に変えられる。