指数方程式(基本)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 指数方程式の鉄則は、両辺の底を揃えること。

(1) $2^x=32$

$32$ を $2$ のべきで書き直す。

$$32=2^5$$

$$2^x=2^5$$

底が同じなら、指数も同じ。

$$x=5$$

(2) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x=27$

左辺の底を $3$ に直す。 $\frac{1}{3}=3^{-1}$ だから

$${\left(3^{-1}\right)}^x=3^{-x}$$

右辺は $27=3^3$。

$$3^{-x}=3^3⟹-x=3⟹x=-3$$

「底を揃えて、指数を比べる」 — 指数関数が $1$ 対 $1$ である(違う $x$ が同じ値を返さない)から、この推論が許される。

(1) $32=2^5$ なので、両辺が $2$ の累乗になる。

$$2^x=2^5\Rightarrow x=5$$

(2) 底を $3$ にそろえる。$\frac{1}{3}=3^{-1}$、$27=3^3$。

$$(3^{-1}{)}^x=3^3\Rightarrow 3^{-x}=3^3\Rightarrow -x=3\Rightarrow x=-3$$

発展 — 一歩先へ。 「底を揃えて指数を比べる」という推論が正しいのは、指数関数が $1$ 対 $1$ だからである。

$$a^{x_1}=a^{x_2}⟹x_1=x_2(a>0,a\ne 1)$$

「違う指数からは、必ず違う値が出る」 — だから逆に、値が同じなら指数も同じだと言える。

なぜ $a\ne 1$ という条件が必要か。

$a=1$ だと、$1^x=1$ で、$x$ が何であっても同じ値になる。$1^3=1^{100}=1$ — $1$ 対 $1$ でない。

だから $1^x=1$ という方程式の解は「すべての実数」であり、指数を比べる推論は使えない。

$a>0$ という条件も、実は重要だ。

$a$ が負だとどうなるか。 $(-2{)}^x$ を考えると

• $x=2$ → $4$(正)
• $x=3$ → $-8$(負)
• $x=\frac{1}{2}$ → $\sqrt{-2}$ — 実数では定義できない!

負の数の指数関数は、実数の範囲では"穴だらけ"になる。 だから指数関数の底は、正で、$1$ でないと決められている。

この条件は、対数の底にもそのまま引き継がれる。

$${\log }_{a}x(a>0,a\ne 1,x>0)$$

$3$ つの条件がついてまわる。

• 底 $a>0$: 負の底では指数関数が定義できない
• 底 $a\ne 1$: $1$ を何乗しても $1$ で、$1$ 対 $1$ でない
• 真数 $x>0$: $a^y$ は必ず正なので、${\log }_{a}x$ の $x$ は正の数しかありえない

この最後の条件(真数条件)が、対数方程式で命取りになる(問題 $11$ で見る)。

「条件がついている」ことには、必ず理由がある。 理由まで理解しておくと、条件を忘れなくなる。

別解

底が揃えられない場合はどうするか。 そこで登場するのが対数だ。この問題を対数で解いてみると、対数の存在理由がはっきりする。

対数ルートで解く。

(1) $2^x=32$

両辺の ${\log }_2$ をとる。

$${\log }_2{2}^x={\log }_{2}32$$

左辺は、対数の定義から $x$ そのもの($2$ を $x$ 乗すると $2^x$ — だから「$2^x$ は $2$ の何乗か」の答えは $x$)。

$$x={\log }_{2}32=5$$

同じ答え ✓

「対数をとる」とは、"何乗か"を取り出す操作である。指数の肩に乗っている $x$ を、地上に引きずり下ろす。

$${\log }_a{a}^x=x$$

この式が、対数の存在理由そのものだ。

(2) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x=27$ も、対数をとれば

$$x{\log }_3\frac{1}{3}={\log }_{3}27⟹x\times (-1)=3⟹x=-3✓$$

さて、対数の真価は「底が揃えられない」ときに現れる。

例: $2^x=10$ を解け。

$10$ は $2$ のべきでは書けない。 $2^3=8$、$2^4=16$ — $x$ は $3$ と $4$ のあいだだと分かるが、正確な値は?

底を揃える作戦は、ここで詰む。

対数なら、答えが書ける。

$$x={\log }_{2}10=\frac{{\log }_{10}10}{{\log }_{10}2}=\frac{1}{0.3010}\approx 3.32$$

$x\approx 3.32$。 確かに $3$ と $4$ のあいだだ ✓

「$2$ を何乗すると $10$ になるか」という問いに、${\log }_{2}10$ という"名前"を与えた — それが対数の発明である。

$\sqrt{2}$ が「$2$ 乗すると $2$ になる数」に与えられた名前であるのと、まったく同じ構造だ。

「求まらない答えに、名前をつける」 — これが数学の常套手段だ。名前をつけた瞬間、その数を式の中で自由に使えるようになる。

そして名前をつけた後で、その性質を調べる。 $\log$ なら「和が積になる」という驚くべき性質が見つかった — 次の問題で、それを学ぶ。