数学II / 指数関数・対数関数

常用対数の文章題(倍増)

★★ 標準常用対数文章題

問題

ある細菌は $1$ 時間ごとに個数が $2$ 倍になる。個数が最初の $1000$ 倍を超えるのは何時間後か。ただし $lo g_{10} 2 = 0.3010$ とする。

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$n$ 時間後の倍率を式にして、 $1000$ 倍を超える条件を不等式に。両辺の常用対数をとれば $n$ の $1$ 次不等式になる。答えは『それを超える最小の整数』。

解答・解説

方針

$n$ 時間後は $2^{n}$ 倍。 $2^{n} > 1000$ を満たす最小の整数 $n$ を、両辺の $lo g_{10}$ をとって求める。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $n$ 時間後は $2^{n}$ 倍。「 $1000$ 倍を超える」を式にすると $2^{n} > 1000$ 。

指数の不等式は、両辺の常用対数をとって次数を下ろす。 $n lo g_{10} 2 > 3$ 、つまり

$n > \frac{3}{0.3010} = 9.96 \dots$

これを満たす最小の整数は $n = 10$ 。「超える最小」だから切り上げ、が最後の判断である。

公式両辺が正なら

A > B ⟺ lo g_{10} A > lo g_{10} B

① 条件を式にする。 $n$ 時間後は $2^{n}$ 倍なので、条件は

$2^{n} > 1000$

② 両辺の $lo g_{10}$ をとる。 $lo g_{10} 1000 = 3$ 。

$n lo g_{10} 2 > 3 \Rightarrow n > \frac{3}{0.3010} = 9.96 \dots$

③ 最小の整数を選ぶ。 $n$ は $9.96 \dots$ より大きい最小の整数、つまり $n = 10$ 。

$(確かめ) 2^{10} = 1024 > 1000, 2^{9} = 512 < 1000$

よって $10$ 時間後。

個数 2^t が 1000 を超えるのは 2^t>1000。t≈9.97 より 10時間後

まとめ:「何倍を超えるのは何回後か」は $2^{n} > M$ の形。 $lo g_{10}$ をとって $n$ の下限を出し、それを超える最小の整数を選ぶ。最後に $2^{10} = 1024$ で確かめると安心だ。

発展 — 一歩先へ。 倍々の成長(指数的増加)は、直感を裏切る速さを持つ。 $10$ 時間で $1000$ 倍なら、 $20$ 時間で $100$ 万倍、 $30$ 時間で $10$ 億倍。「等間隔の時間で等倍」という指数の性質を、対数が「掛け算を足し算に」直して手なずけている。

半減期(倍々の逆)、複利、感染の初期増加 — この計算の型は理科や社会の定量的な議論にそのまま持ち出せる。数学IIの中でも、実生活との接点が特に太い問題である。

答

$10$ 時間後

別解

$2$ のべきの常識、 $2^{10} = 1024$ を知っていれば、対数なしの一撃で答えが出る。

$2^{10} = 1024 > 1000, 2^{9} = 512 < 1000$

$9$ 時間後はまだ $512$ 倍で足りず、 $10$ 時間後に $1024$ 倍で初めて $1000$ 倍を超える。答えは $10$ 時間後。

「じゃあ対数は要らないのか」というと、そうではない。 $1000$ 倍が $10$ 億倍( $1 0^{9}$ )になったら、 $2^{n} > 1 0^{9}$ を満たす $n$ をべきの暗記で探すのは無理で、 $n > \frac{9}{0.3010} = 29.9 \dots \to 30$ と対数が必須になる。

小さい数では検算に、大きい数では本線に。 $2^{10} \approx 1 0^{3}$ という関係( $lo g_{10} 2 \approx 0.3$ の正体)は、両者をつなぐ架け橋として覚えておく価値がある。

ポイント

「 $2$ 倍を $n$ 回」= $2^{n}$ 倍。
$lo g_{10}$ をとって $n$ を評価し、整数で答える。

よくある間違い

$n > 9.96 \dots$ を切り捨てて $n = 9$ とする(超える最小は切り上げ)
「 $1000$ 倍を超える」と「 $1000$ 倍以上」の区別(等号の扱い)を曖昧にする
$lo g_{10} 1000 = 3$ を桁数の $4$ と混同する