数学II / 指数関数・対数関数

対数方程式(係数と真数条件)

★★★ 応用対数方程式真数条件

問題

方程式 $2 lo g_{2} (x - 1) = lo g_{2} (x + 1) + 1$ を解け。

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係数の $2$ は真数の指数に取り込める。右辺の $+ 1$ も対数の形に直せる。両辺とも $1$ つの対数にまとまれば真数比較 — この問題では真数条件による選別が特に効いてくる。

解答・解説

方針

真数条件をまず書く。係数 $2$ は真数の $2$ 乗に、右辺の $+ 1$ は $lo g_{2} 2$ に直して、両辺を1つの対数にそろえる。真数どうしを等しいとおいて2次方程式を解き、条件で絞る。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 両辺を $1$ つの対数の形にそろえたい。そうすれば真数どうしの等式に持ち込める。

そのために、係数 $2$ は真数の $2$ 乗に取り込む。右辺の $+ 1$ は $lo g_{2} 2$ と見て対数に押し込む。

こうして「係数・定数を対数の中へ押し込んでから真数比較」に持ち込む。同時に、真数条件で解を絞り込むところまでが一組の作業だ。

公式

k lo g_{a} M = lo g_{a} M^{k}

、

1 = lo g_{2} 2

① 真数条件を書く。 $x - 1 > 0$ かつ $x + 1 > 0$ 、まとめて $x > 1$ 。

② 両辺を1つの対数にそろえる。 係数 $2$ は $2$ 乗、 $+ 1$ は $lo g_{2} 2$ 。

$左辺 = lo g_{2} (x - 1)^{2}, 右辺 = lo g_{2} (x + 1) + lo g_{2} 2 = lo g_{2} 2 (x + 1)$

③ 真数を等しいとおく。 同じ底の対数が等しいので真数も等しい。

$(x - 1)^{2} = 2 (x + 1)$

$x^{2} - 2 x + 1 = 2 x + 2 \Rightarrow x^{2} - 4 x - 1 = 0$

解の公式より

$x = 2 \pm 5$

④ 真数条件で絞る。 $x > 1$ が必要。 $2 - 5 = - 0.23 \dots < 1$ は不適。 $2 + 5 = 4.23 \dots$ は $x > 1$ を満たす。

$x = 2 + 5$

まとめ:係数つき対数方程式は「真数条件 → 係数を指数に・定数を $lo g$ に → 真数を等しいとおく → 条件で絞る」。 $2 - 5$ のような条件外の解を落とすところまでが解答だ。

発展 — 一歩先へ。 なぜ $2 - 5$ という「にせの解」が現れたのか。犯人は「係数を指数に取り込む」変形そのものだ。

もとの $2 lo g_{2} (x - 1)$ は $x - 1 > 0$ 、つまり $x > 1$ でしか定義されない。ところが変形後の $lo g_{2} (x - 1)^{2}$ は $(x - 1)^{2} > 0$ 、つまり $x \neq = 1$ なら定義される。この一手で、 $x < 1$ の世界まで定義域がこっそり広がる。

広がった側に紛れ込んだのが $2 - 5 < 1$ だ。変形が定義域を広げるときは、得た解を必ずもとの条件に照らす。対数・根号の方程式で「にせの解」が出る仕組みは、いつもこの定義域の拡大にある。

答

$x = 2 + 5$

別解

別解 — $2$ つのグラフの交わりで見る(苦手な人向けの視覚ルート)。 左辺 $y = 2 lo g_{2} (x - 1)$ と右辺 $y = lo g_{2} (x + 1) + 1$ を、同じ $x y$ 平面のグラフとして思い描く。

どちらも $x > 1$ でしか描けない。 $x$ が $1$ に近づくと左辺は真っ逆さまに $- \infty$ へ落ち、 $x$ が大きくなると左辺のほうが速く伸びる。だから $2$ 本は $x > 1$ の範囲でちょうど $1$ 回だけ交わる。

その交点が答え。交点の $x$ を式で出すと $(x - 1)^{2} = 2 (x + 1)$ 、すなわち $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ から $x = 2 \pm 5$ 。

グラフが $x > 1$ でしか存在しないので、 $2 - 5 \approx - 0.24$ はそもそもグラフの無い場所にある「幻」。残るのは $2 + 5$ だけだ。真数条件で機械的に絞る本解と同じ答えに、絵で納得できる。

ポイント

$2 lo g_{2} (x - 1) = lo g_{2} (x - 1)^{2}$ 、 $1 = lo g_{2} 2$ 。
解を真数条件( $x > 1$ )でふるいにかける。

よくある間違い

$2 - 5$ を答えに含める。 $x - 1$ が負になり真数条件 $x > 1$ を満たさず不適。
係数 $2$ を真数の $2$ 乗にせず $2 (x - 1)$ と外に出し、左辺を $lo g_{2} 2 (x - 1)$ としてしまう。
右辺の $+ 1$ を $lo g_{2} 1 = 0$ と取り違え(正しくは $1 = lo g_{2} 2$ )、 $(x - 1)^{2} = x + 1$ と誤る。