数学II / 指数関数・対数関数

対数関数の最大・最小(両端が最大)

★★★ 応用最大最小置き換え

問題

$\frac{1}{2} ≦ x ≦ 8$ のとき、 $y = (lo g_{2} x)^{2} - 2 lo g_{2} x - 2$ の最大値と最小値を求めよ。

ヒントを見る

置きかえて平方完成すると頂点が見える。範囲の両端と頂点の位置関係を図で確かめよう — この問題では両端が頂点からちょうど同じ距離にある。最大値をとる $x$ がいくつ出るだろう。

解答・解説

方針

$t = lo g_{2} x$ とおいて2次関数に。 $x$ の範囲から $t$ の範囲を出すと、 $t$ は負の値も含む。放物線の頂点で最小、両端が頂点から等距離なら最大は両端で同時に起こる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $t = lo g_{2} x$ とおくと $2$ 次関数になる。 $x$ の範囲 $\frac{1}{2} \sim 8$ を移すと、 $t$ は負の値も含む範囲になる。

放物線なので頂点で最小。問題は最大がどこかだ。

もし両端が頂点から等距離なら、最大は両端で同時に起こる。「 $t$ の範囲に頂点の左右がどう入るか」で最大の場所が決まる。この $2$ 次関数の判断を、対数の置換で行う。

公式平方完成

t^{2} - 2 t - 2 = (t - 1)^{2} - 3

① $t = lo g_{2} x$ で2次関数にする。

$y = t^{2} - 2 t - 2 = (t - 1)^{2} - 3$

② $t$ の範囲を出す。 $lo g_{2} x$ は増加関数。 $lo g_{2} \frac{1}{2} = - 1$ 、 $lo g_{2} 8 = 3$ なので

$- 1 ≦ t ≦ 3$

③ 放物線で読む。 頂点は $t = 1$ (範囲内)で最小 $- 3$ 。両端は頂点 $t = 1$ から見て、 $t = - 1$ も $t = 3$ も距離 $2$ で等しい。だから最大は両端で同時に起こる。

$最小 (t = 1) : y = - 3, 最大 (t = - 1, 3) : y = (\pm 2)^{2} - 3 = 1$

y=(t-1)^2-3(横軸 t=log_2 x、-1≦t≦3)。頂点t=1で最小-3、両端t=-1,3で最大1

④ $x$ に戻す。 $t = 1$ は $x = 2$ 、 $t = - 1$ は $x = \frac{1}{2}$ 、 $t = 3$ は $x = 8$ 。

$最大値 1 (x = \frac{1}{2}, 8), 最小値 - 3 (x = 2)$

まとめ:頂点から両端までの距離が等しいと、最大値は両端の2か所で同時に取れる。 $t$ の範囲に負が入ることも見落とさず、 $x$ に戻すときは $t = - 1 \to x = \frac{1}{2}$ のように正しく対応させる。

発展 — 一歩先へ。 この関数には、同じ $y$ を与える $x$ が対になって現れる隠れた規則がある。

$y = (t - 1)^{2} - 3$ は軸 $t = 1$ について対称なので、同じ $y$ の $2$ 解 $t_{1}, t_{2}$ は $t_{1} + t_{2} = 2$ を満たす。 $t = lo g_{2} x$ に戻すと $lo g_{2} x_{1} + lo g_{2} x_{2} = 2$ 、つまり $x_{1} x_{2} = 4$ 。

実際、最大を与える $x = \frac{1}{2}$ と $x = 8$ は積が $4$ 。 $y = - 2$ を与える $x = 1$ と $x = 4$ も積が $4$ 。「等しい高さの $2$ 点は積 $4$ で結ばれる」という対称性が、軸 $t = 1$ の正体だ。

だから最大が $2$ か所に出たのも偶然ではない。定義域 $[\frac{1}{2}, 8]$ の両端が、ちょうど積 $4$ の対( $\frac{1}{2} \times 8 = 4$ )になっていたからだ。

答

最大値 $1$ ( $x = \frac{1}{2}$ と $x = 8$ )、最小値 $- 3$ ( $x = 2$ )

別解

別解 — 変数を軸へずらして偶関数にする(得意な人向けの視点)。 軸が $t = 1$ なら、そこを原点にずらすと式が見やすい。

$u = lo g_{2} x - 1 = lo g_{2} \frac{x}{2}$ とおく。すると $y = (t - 1)^{2} - 3 = u^{2} - 3$ 。定義域は $\frac{1}{2} ≦ x ≦ 8$ から $\frac{1}{4} ≦ \frac{x}{2} ≦ 4$ 、すなわち $- 2 ≦ u ≦ 2$ 。

$y = u^{2} - 3$ は $u$ の偶関数で、区間 $[- 2, 2]$ も左右対称。だから最小は真ん中 $u = 0$ で $y = - 3$ 、最大は両端 $u = \pm 2$ で $y = 1$ と、ひと目で分かる。

$u = 0$ は $x = 2$ 、 $u = 2$ は $x = 8$ 、 $u = - 2$ は $x = \frac{1}{2}$ 。置換して放物線を読む本解と同じ答え。軸へ変数をずらすと「偶関数 × 対称区間」になり、最大が両端 $2$ か所に出る理由が透けて見える。

ポイント

頂点から等距離の両端は、最大値を同時に取る。
$t = lo g_{2} x$ は負にもなる。範囲を正確に。

よくある間違い

$t = lo g_{2} x$ の変域で $lo g_{2} \frac{1}{2} = - 1$ を見落とし、 $t$ の下端を $0$ 等と取り違える。
上に開いた放物線で「最大は頂点」と思い込み、最小と最大を逆に答える。
最大が両端 $2$ か所で起こるのに $x = 8$ だけを書き、 $x = \frac{1}{2}$ を落とす。